Ta có \(x + y = a\) và \(xy = b\). Sử dụng các mối quan hệ này, ta tìm giá trị các biểu thức theo \(a\) và \(b\).

**(a) Tính \(x^2 + y^2\):**
Ta bắt đầu với đẳng thức bình phương của tổng:
\[
(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
\]
Thay \(x + y = a\) và \(xy = b\) vào, ta được:
\[
a^2 = x^2 + y^2 + 2b
\]
Do đó:
\[
x^2 + y^2 = a^2 - 2b
\]

**(b) Tính \(x^3 + y^3\):**
Ta sử dụng công thức lập phương của tổng:
\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
\]
Thay \(x + y = a\) và \(xy = b\) vào, ta có:
\[
x^3 + y^3 = a \left(x^2 + y^2 - b\right)
\]
Thay \(x^2 + y^2 = a^2 - 2b\) từ (a) vào:
\[
x^2 + y^2 - b = a^2 - 2b - b = a^2 - 3b
\]
Do đó:
\[
x^3 + y^3 = a(a^2 - 3b) = a^3 - 3ab
\]

**(c) Tính \(x^4 + y^4\):**
Ta sử dụng \( (x^2 + y^2)^2 \):
\[
(x^2 + y^2)^2 = x^4 + y^4 + 2x^2y^2
\]
Thay \(x^2 + y^2 = a^2 - 2b\) và \(x^2y^2 = b^2\) vào, ta được:
\[
(a^2 - 2b)^2 = x^4 + y^4 + 2b^2
\]
Do đó:
\[
x^4 + y^4 = (a^2 - 2b)^2 - 2b^2 = a^4 - 4a^2b + 4b^2 - 2b^2 = a^4 - 4a^2b + 2b^2
\]

**(d) Tính \(x^5 + y^5\):**
Ta sử dụng:
\[
x^5 + y^5 = (x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)
\]
Thay \(x + y = a\) vào:
\[
x^5 + y^5 = a \left( (x^4 + y^4) - (x^3y + xy^3) + x^2y^2 \right)
\]
Sử dụng kết quả từ phần (b) và (c) ta có:
\[
x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = b(a^2 - 2b)
\]
Do đó:
\[
(x^4 + y^4) - (x^3y + xy^3) + x^2y^2 = (a^4 - 4a^2b + 2b^2) - b(a^2 - 2b) + b^2 = a^4 - 4a^2b + 2b^2 - a^2b + 2b^2 + b^2 = a^4 - 5a^2b + 3b^2
\]
Dẫn đến:
\[
x^5 + y^5 = a(a^4 - 5a^2b + 3b^2) = a^5 - 5a^3b + 3ab^2
\]

Như vậy, các kết quả là:
\[
a) x^2 + y^2 = a^2 - 2b
\]
\[
b) x^3 + y^3 = a^3 - 3ab
\]
\[
c) x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2
\]
\[
d) x^5 + y^5 = a^5 - 5a^3b + 3ab^2
\]