Giải phương trình: 4/x - 3 + 3/x - 3 = x - 2/x^2 - 9

Để giải phương trình \( \frac{4}{x-3} + \frac{3}{x} = \frac{x-2}{x^2-9} \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Phân tích mẫu số
Phân tích \( x^2 - 9 \) ra thành nhân tử:
\[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \]

### Bước 2: Quy đồng mẫu số
Đưa các phân thức về cùng mẫu số chung \((x)(x-3)(x+3)\):

\[ \frac{4(x)(x+3)}{(x-3)(x)(x+3)} + \frac{3(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{(x-2)x}{(x-3)(x+3)x} \]

Ta đơn giản hóa các phân thức:

\[ \frac{4x(x+3)}{x(x-3)(x+3)} + \frac{3(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{x(x-2)}{x(x-3)(x+3)} \]

### Bước 3: Kết hợp phân thức
Ta có thể bỏ mẫu số chung \((x)(x-3)(x+3)\) và chỉ cần làm việc với tử số:

\[ 4x(x+3) + 3(x-3)(x+3) = x(x-2) \]

### Bước 4: Mở rộng và thu gọn
Ta mở rộng và đơn giản hóa các biểu thức:

\[ 4x^2 + 12x + 3(x^2 - 9) = x^2 - 2x \]
\[ 4x^2 + 12x + 3x^2 - 27 = x^2 - 2x \]
\[ 7x^2 + 12x - 27 = x^2 - 2x \]

### Bước 5: Đưa tất cả về một phía
Chuyển tất cả sang một bên của phương trình để giải:

\[ 7x^2 + 12x - 27 - x^2 + 2x = 0 \]
\[ 6x^2 + 14x - 27 = 0 \]

### Bước 6: Giải phương trình bậc hai
Phương trình này là phương trình bậc hai:

\[ 6x^2 + 14x - 27 = 0 \]

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Ở đây \( a = 6 \), \( b = 14 \), \( c = -27 \):

\[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-27)}}{2 \cdot 6} \]
\[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 648}}{12} \]
\[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{844}}{12} \]
\[ x = \frac{-14 \pm 2\sqrt{211}}{12} \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{211}}{6} \]

### Bước 7: Kiểm tra điều kiện nghiệm
Vì x phải tuân theo điều kiện không làm mẫu số bằng không, chúng ta phải kiểm tra các giá trị nghiệm \( \frac{-7 + \sqrt{211}}{6} \neq 0, 3\) và \( \frac{-7 - \sqrt{211}}{6} \neq 0, 3\).

Cuối cùng, nghiệm của phương trình ban đầu là:

\[ x = \frac{-7 + \sqrt{211}}{6} \quad \text{và} \quad x = \frac{-7 - \sqrt{211}}{6} \]

Ta có thể loại trừ bất kỳ nghiệm nào làm mẫu số bằng không trong bước kiểm tra cuối cùng.