Trong tam giác vuông ABC tại A, với đường cao AH, ta có các thông tin sau:

- AH = 12 cm (đường cao từ A xuống cạnh huyền BC)
- BC = 25 cm (cạnh huyền)

Đầu tiên, ta có thể sử dụng công thức liên hệ giữa cạnh huyền và đường cao trong một tam giác vuông. Công thức này là:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Gọi:
- AB = c
- AC = b
- BC = a = 25 cm

Thay vào công thức trên, ta có:

\[
12 = \frac{b \cdot c}{25}
\]

Từ đó, ta có thể tìm b * c:

\[
b \cdot c = 12 \cdot 25 = 300
\]

Tiếp theo, ta sử dụng định lý Pythagore để có mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
\[
b^2 + c^2 = 25^2 = 625
\]

Tìm mối quan hệ giữa b và c, ta có:

1. \(b \cdot c = 300\) (1)
2. \(c^2 + b^2 = 625\) (2)

Giả sử \(c = \frac{300}{b}\), ta thay vào (2):

\[
b^2 + \left(\frac{300}{b}\right)^2 = 625
\]

Giải phương trình này:

\[
b^2 + \frac{90000}{b^2} = 625
\]
\[
b^4 - 625b^2 + 90000 = 0
\]

Đặt \(x = b^2\), ta có phương trình bậc 2:

\[
x^2 - 625x + 90000 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{625 \pm \sqrt{625^2 - 4 \cdot 90000}}{2}
\]
\[
x = \frac{625 \pm \sqrt{390625 - 360000}}{2}
\]
\[
x = \frac{625 \pm \sqrt{30625}}{2}
\]
\[
\sqrt{30625} = 175
\]

Vậy,

\[
x = \frac{625 \pm 175}{2}
\]

Tính các nghiệm:

1. \( x_1 = \frac{800}{2} = 400 \Rightarrow b^2 = 400 \Rightarrow b = 20\)
2. \( x_2 = \frac{450}{2} = 225 \Rightarrow c^2 = 225 \Rightarrow c = 15\)

Vậy:

- \(AB = 15 \text{ cm}\)
- \(AC = 20 \text{ cm}\)

Tiếp theo, chúng ta cần tính BH và CH, nơi H là chân đường cao từ A xuống BC.

Áp dụng công thức tính cạnh từ đường cao:

- BH = (c * AH) / a
- CH = (b * AH) / a

Trong đó:

- \(a = …\)
- \(b = 20\)
- \(c = 15\)
- \(AH = 12\)

Vậy:

1. \( BH = \frac{15 \cdot 12}{25} = \frac{180}{25} = 7.2 \) cm
2. \( CH = \frac{20 \cdot 12}{25} = \frac{240}{25} = 9.6 \) cm

Kết quả cuối cùng:

- \( BH = 7.2 \) cm
- \( CH = 9.6 \) cm