Chứng minh rằng

Để chứng minh các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của ước số chung lớn nhất (ƯCLN) và một số tính chất cơ bản của các số nguyên. Giả sử \( (a; b) = 1 \) có nghĩa là \( a \) và \( b \) là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau (không có ước số chung lớn hơn 1).

### a) Chứng minh \( (a; a+b) = 1 \)

Ta biết rằng:
\[
d = (a, a+b)
\]
Chúng ta có thể viết \( a+b \) như sau:
\[
a+b = a + b
\]
Theo định nghĩa của ƯCLN, \( d \) cũng chia hết cho \( a \) và \( a+b \).
Điều này có nghĩa là \( d \) phải chia hết cho \( a \), mà từ đó suy ra:
\[
d | (a+b) - a = b
\]
Vì \( (a, b) = 1 \), suy ra \( d \) chỉ có thể bằng 1. Do đó,
\[
(a; a+b) = 1
\]
### b) Chứng minh \( (b; a-b) = 1 \)

Tương tự như trên, ta có:
\[
d = (b, a-b)
\]
Ta có thể viết \( a-b \) như sau:
\[
a-b = (a + b) - 2b
\]
Theo tính chất của ƯCLN, \( d \) chia hết cho \( b \) và \( a-b \):
\[
d | (a-b) + b = a
\]
Với \( (a, b) = 1 \), suy ra \( d = 1 \). Điều này chứng minh rằng:
\[
(b; a-b) = 1
\]

### c) Chứng minh \( (ab; a+b) = 1 \)

Ta có:
\[
d = (ab, a+b)
\]
Từ điều kiện \( (a, b) = 1 \), suy ra \( d \) sẽ không chia hết cho \( a \) và \( b \) đồng thời. Cụ thể:
\[
d | (a+b)
\]
Vì \( a \) và \( b \) là nguyên tố cùng nhau, do đó \( d \) không thể chia hết cho \( ab \) mà vẫn chia hết cho \( a+b \). Vậy \( d = 1 \) cho nên:
\[
(ab; a+b) = 1
\]

### d) Chứng minh \( (a^2; a-b) = 1 \)

Tương tự, ta có:
\[
d = (a^2, a-b)
\]
Chúng ta có:
\[
d | a^2
\]
Và lại \( d | (a-b) + b = a \). Vì \( (a, b) = 1 \), nên không có ước số chung nào giữa \( a^2 \) và \( a-b \). Vậy:
\[
(a^2; a-b) = 1
\]

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, chúng ta có:
\[
(a; a+b) = 1, \quad (b; a-b) = 1, \quad (ab; a+b) = 1, \quad (a^2; a-b) = 1
\]
do đó, các kết luận đều đúng.