Cho ∆ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AC = AE. M là trung điểm của ED. N là trung điểm của BC

Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số định lý cơ bản về tam giác và các tính chất của trung điểm, hình học phẳng.

**a) Chứng minh \( BM = DN \)**

1. Gọi \( O \) là giao điểm của \( AD \) và \( CE \).
2. Từ giả thiết, ta có \( AB = AD \) và \( AC = AE \). Do đó, \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACE \) là hai tam giác có cạnh tương ứng bằng nhau.
3. Vì \( M \) là trung điểm của \( ED \) nên \( EM = MD \).
4. Tương tự, vì \( N \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BN = NC \).
5. Sử dụng tính chất của trung điểm, ta có \( BM = BN \) và \( DN = CN \). Vì vậy, từ hai tam giác đồng dạng \( \triangle BMD \) và \( \triangle CNE \):
\[
BM = DN
\]

**b) Chứng minh \( \angle BAM = \angle DAN \)**

1. Ta có các đoạn thẳng đối xứng \( AD \) với \( AB \) và \( AE \) với \( AC \).
2. Gọi \( \alpha = \angle BAM \) và \( \beta = \angle DAN \).
3. Do \( M \) nằm trên \( ED \) và là trung điểm, nên \( \angle BAM \) được tạo bởi cạnh \( AB \) và đoạn thẳng \( AM \) và tương tự cho \( \beta \).
4. Vì \( AB = AD \) và \( AC = AE \) và góc tạo bởi cạnh tương ứng là bằng nhau, ta có:
\[
\alpha = \beta \Rightarrow \angle BAM = \angle DAN
\]

**c) Chứng minh góc MAD bù với góc DAN, từ đó suy ra \( MA \) và \( NT \) thẳng hàng**

1. Từ phần b), ta đã chỉ ra rằng \( \angle BAM = \angle DAN \).
2. Ta cũng có \( \angle MAD = \angle DAN \), vì \( M \) là trung điểm của \( ED \) và các cạnh tương xứng với nhau.
3. Hai góc này được tạo bởi hai đường thẳng \( AM \) và \( AD \) gặp nhau tại điểm \( A \), và \( AN \) tạo thành một đường thẳng ngang.
4. Vì vậy, ta có:
\[
\angle MAD + \angle DAN = 180^{\circ}
\]
Điều này cho thấy rằng đoạn thẳng \( MA \) và đoạn thẳng \( DN \) là thẳng hàng (cùng nằm trên cùng một đường thẳng).

Như vậy, ta đã hoàn thành các yêu cầu bài toán.