Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật không có nắp có đáy là hình vuông cạnh x cm và chiều cao h cm, biết tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp bằng 243 cm². Tìm x để trước hộp có thể tích lớn nhất

Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định các thông tin đã cho**:
- Chiếc hộp có đáy hình vuông cạnh \( x \) cm và chiều cao \( h \) cm.
- Tổng diện tích bề mặt của hộp không có nắp là \( S = x^2 + 4xh = 243 \) cm².

2. **Xác định thể tích của hộp**:
Thể tích \( V \) của hộp được tính bằng công thức:
\[
V = x^2h
\]

3. **Thay thế \( h \) từ công thức diện tích**:
Từ công thức diện tích, chúng ta có thể tìm \( h \):
\[
4xh = 243 - x^2 \\
h = \frac{243 - x^2}{4x}
\]

4. **Thay thế \( h \) vào công thức thể tích**:
Thay \( h \) vào trong công thức thể tích:
\[
V = x^2 \left( \frac{243 - x^2}{4x} \right) = \frac{x(243 - x^2)}{4} = \frac{243x - x^3}{4}
\]

5. **Tìm giá trị cực đại của thể tích**:
Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích, ta sẽ tính đạo hàm của \( V \) theo \( x \) và đặt nó bằng 0:
\[
V' = \frac{1}{4}(243 - 3x^2)
\]
Đặt đạo hàm bằng 0:
\[
243 - 3x^2 = 0 \\
3x^2 = 243 \\
x^2 = 81 \\
x = 9 \, \text{cm}
\]

6. **Kiểm tra tính chất cực trị**:
Ta sẽ kiểm tra dấu của đạo hàm thứ hai để xác định xem đây có phải là điểm cực đại không:
\[
V'' = \frac{d}{dx} V' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{4} (243 - 3x^2) \right) = -\frac{3}{2} x
\]
Khi \( x = 9 \), ta có:
\[
V''(9) = -\frac{3}{2} \times 9 = -\frac{27}{2} < 0 \quad \text{(suy ra là cực đại)}
\]

7. **Kết luận**:
Chiều dài cạnh đáy \( x \) của hộp để thể tích lớn nhất là \( x = 9 \) cm.