Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 4/3 sin³x + 4cos²x - 5sinx + 1. Tính giá trị của M - m

Để tìm giá trị nhỏ nhất \( m \) và lớn nhất \( M \) của hàm số

\[
y = \frac{4}{3} \sin^3 x + 4 \cos^2 x - 5 \sin x + 1,
\]

ta có thể sử dụng một số phương pháp, chẳng hạn như tính đạo hàm để tìm các điểm cực trị hoặc kiểm tra giá trị của hàm số tại một số điểm đặc biệt.

Trước tiên, hãy chuyển đổi hàm số về dạng một biến duy nhất. Ta biết rằng \( cos^2 x = 1 - sin^2 x \), vì vậy có thể thay thế:

\[
y = \frac{4}{3} \sin^3 x + 4 (1 - \sin^2 x) - 5 \sin x + 1.
\]

Hãy đặt \( u = \sin x \), do đó \( -1 \leq u \leq 1 \), ta có:

\[
y = \frac{4}{3} u^3 + 4(1 - u^2) - 5u + 1.
\]

Phát triển biểu thức, ta có:

\[
y = \frac{4}{3} u^3 - 4u^2 - 5u + 4 + 1 = \frac{4}{3} u^3 - 4u^2 - 5u + 5.
\]

Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm:

\[
\frac{dy}{du} = 4u^2 - 8u - 5.
\]

Đặt đạo hàm bằng 0:

\[
4u^2 - 8u - 5 = 0.
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5)}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{8} = \frac{8 \pm 12}{8}.
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
u_1 = \frac{20}{8} = 2.5 \quad \text{(không hợp lệ vì } u \text{ chỉ từ } -1 \text{ đến } 1\text{)}
\]
\[
u_2 = \frac{-4}{8} = -0.5.
\]

Bây giờ ta kiểm tra giá trị của hàm tại các đầu đoạn và tại điểm \( u = -0.5 \):

1. Tại \( u = 1 \):

\[
y(1) = \frac{4}{3}(1^3) - 4(1^2) - 5(1) + 5 = \frac{4}{3} - 4 - 5 + 5 = \frac{4}{3} - 4 = \frac{4 - 12}{3} = \frac{-8}{3}.
\]

2. Tại \( u = -1 \):

\[
y(-1) = \frac{4}{3}(-1^3) - 4(-1^2) - 5(-1) + 5 = -\frac{4}{3} - 4 + 5 + 5 = -\frac{4}{3} - 4 + 10 = -\frac{4}{3} + 6 = -\frac{4}{3} + \frac{18}{3} = \frac{14}{3}.
\]

3. Tại \( u = -0.5 \):

\[
y(-0.5) = \frac{4}{3}(-0.5)^3 - 4(-0.5)^2 - 5(-0.5) + 5 = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{8}) - 4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} + 5.
\]
\[
= -\frac{4}{24} - 1 + \frac{5}{2} + 5 = -\frac{1}{6} - 1 + 2.5 + 5 = -\frac{1}{6} + 6.5 = 6.5 - \frac{1}{6} = \frac{39}{6} - \frac{1}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3}.
\]

Vậy ta có:

- \( y(1) = -\frac{8}{3} \)
- \( y(-1) = \frac{14}{3} \)
- \( y(-0.5) = \frac{19}{3} \)

Giá trị nhỏ nhất \( m = -\frac{8}{3} \) và giá trị lớn nhất \( M = \frac{19}{3} \).

Cuối cùng, giá trị của \( M - m \) là:

\[
M - m = \frac{19}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{19}{3} + \frac{8}{3} = \frac{27}{3} = 9.
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{9}.
\]