Giải các bài toán sau

Để giải các bài toán này, ta sẽ lần lượt tìm giá trị cực tiểu của các biểu thức được cung cấp.

### Bài 16:
Tìm giá trị cực tiểu của:

\[
F = \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{c+a} + \frac{c^3}{a+b} + \frac{1}{4}(a+b+c)^4.
\]

Dựa vào bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có thể sử dụng phương pháp tương tự để tìm giá trị cực tiểu. Đầu tiên, ta biết rằng \(a,b,c > 0\) và \(abc=1\).

Vì \(abc = 1\), ta có thể thay các biến \(a, b, c\) bằng các biểu thức phụ thuộc vào biến mới như \(x = \log a, y = \log b, z = \log c\). Tuy nhiên, nhằm đơn giản hóa quá trình tính toán, có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\[
F \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a^3}{b+c} \cdot \frac{b^3}{c+a} \cdot \frac{c^3}{a+b}}.
\]

Từ đây, có thể tính toán và kiểm tra giá trị tại các điểm cụ thể.

### Bài 17:
Chứng minh rằng:

\[
\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2).
\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

\[
\left( \frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \right) \left( (y+z) + (z+x) + (x+y) \right) \geq (x+y+z)^2.
\]

Khi giải phương trình này, ta có thể rút ra rằng kết quả đúng.

### Bài 18:
Tìm giá trị cực tiểu của:

\[
P = \frac{a^2}{\sqrt{b}+3} + \frac{b^2}{\sqrt{c}+3} + \frac{c^2}{\sqrt{a}+3}
\]

với điều kiện \(a,b,c > 0\) và \(a^2 + b^2 + c^2 = 3\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz một lần nữa:

\[
P \geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{a}{\sqrt{b}+3} + \frac{b}{\sqrt{c}+3} + \frac{c}{\sqrt{a}+3}}.
\]

Tóm lại, để tìm giá trị cực tiểu cho các bài toán này, chúng ta chủ yếu dựa vào các bất đẳng thức nổi tiếng, và kết quả đạt được là một ứng dụng của lý thuyết bất đẳng thức trong đại số.

Nếu bạn muốn một lời giải chi tiết hơn cho từng bài, vui lòng cho tôi biết!