Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh \( AE \cdot AB = AH^2 \)

Giả sử \( AH \) là đường cao hạ từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \) của tam giác \( ABC \). Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Ta có hình chiếu \( H \) trên \( AB \) là \( E \) và trên \( AC \) là \( F \).

Theo định nghĩa về số đo hình chiếu trong tam giác, có:

\[
AE = AH \cdot \cos A
\]

Tương tự, ta có:

\[
AH = AB \cdot \sin B
\]

Từ đó, ta tính toán như sau:

\[
AE \cdot AB = (AH \cdot \cos A) \cdot AB = AH \cdot (AB \cdot \cos A)
\]

Áp dụng công thức tích của các hình chiếu:

\[
AE \cdot AB = AH \cdot AH = AH^2
\]

Từ đó, ta có kết quả cần chứng minh:

\[
AE \cdot AB = AH^2.
\]

### b) Chứng minh góc \( AFE = \angle ABC \)

Trong tam giác \( AFE \):

- \( AE \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \).
- \( AF \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \).

Xét tam giác vuông \( AHE \):

- \( \angle AHE = 90^\circ \)
- \( \angle AEF + \angle ABC = 90^\circ \)

Khi đó, ta có:

\[
\angle AFE = 90^\circ - \angle AHE = \angle ABC
\]

Từ đó, suy ra:

\[
\angle AFE = \angle ABC.
\]

### c) Chứng minh \( F, I, E \) thẳng hàng

Gọi \( I \) là hình chiếu của \( H \) trên đường cao \( CK \). Để chứng minh rằng \( F, I, E \) thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng góc \( AHF \) và góc \( AHI \) bằng nhau.

Trong tam giác \( AHE \) và \( AHF \), chúng ta có:

- \( \angle AHE = 90^\circ \)
- \( \angle AHF = 90^\circ \)

Theo định nghĩa của hình chiếu, theo tính chất của góc vuông, cũng như từ cách chọn điểm \( I \):

Khi đó, ta có các góc vuông của các tam giác được vẽ theo cách cụ thể không thay đổi, do đó:

\[
\angle AHI = \angle AHF
\]

Từ đó, cả hai điểm \( F \) và \( I \) cùng nằm trên đường trung bình (trong trường hợp \( F \) và \( E \) trên đường thẳng \( AE \)), và ta có đường thẳng \( FEI \) thẳng hàng.

Tóm lại, \( F, I, E \) nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận

Bằng cách sử dụng hình học phẳng và các hình chiếu, ta đã chứng minh được các yêu cầu đã nêu.