Tìm số dư: T = 2^1+2^3+2^5+.....+2^30 : 85

Để tìm số dư khi chia \( T = 2^1 + 2^3 + 2^5 + \ldots + 2^{30} \) cho 85, trước tiên ta nhận thấy rằng dãy số này là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( 2^1 \) và công bội là \( 2^2 = 4 \).

Ta có thể viết lại tổng này như sau:

\[
T = 2^1 + 2^3 + 2^5 + \ldots + 2^{30} = 2^1 (1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{28}).
\]

Ta biết rằng \( 1 + r + r^2 + \ldots + r^{n-1} = \frac{r^n - 1}{r - 1} \). Trong trường hợp này, \( r = 4 \), và số hạng là \( 15 \):

\[
1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{28} = 1 + 4 + 16 + \ldots + 4^{14} = \frac{4^{15} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{15} - 1}{3}.
\]

Do đó, ta có thể viết lại \( T \):

\[
T = 2^1 \cdot \frac{4^{15} - 1}{3} = \frac{2(4^{15} - 1)}{3}.
\]

Giờ ta cần tìm \( T \mod 85 \). Đầu tiên, tính toán \( 4^{15} \mod 85 \).

Áp dụng định lý nhỏ Fermat, ta có \( 85 = 5 \times 17 \). Tính riêng từng phần:

1. **Tính \( 4^{15} \mod 5 \)**:
- \( 4 \equiv -1 \mod 5 \),
- \( 4^{15} \equiv (-1)^{15} \equiv -1 \equiv 4 \mod 5 \).

2. **Tính \( 4^{15} \mod 17 \)**:
- \( \phi(17) = 16 \) (vì 17 nguyên tố),
- \( 4^{15} \equiv 4^{-1} \mod 17 \).
- Tính \( 4^{-1} \mod 17 \) bằng cách tìm số mà khi nhân với 4 cho kết quả 1 mod 17:
- Ta thử \( 4 \times 13 = 52 \equiv 1 \mod 17 \) (vậy \( 4^{-1} \equiv 13 \)).
- Do đó, \( 4^{15} \equiv 13 \mod 17 \).

3. **Áp dụng định lý Trung gian**:
- Ta có hệ phương trình:
\[
x \equiv 4 \mod 5,
\]
\[
x \equiv 13 \mod 17.
\]

Sử dụng phương pháp thế:
- Từ \( x = 5k + 4 \), thay vào phương trình thứ hai:
\[
5k + 4 \equiv 13 \mod 17 \\
5k \equiv 9 \mod 17.
\]

Tính \( 5^{-1} \mod 17 \):
- \( 5 \times 7 = 35 \equiv 1 \mod 17 \) (vậy \( 5^{-1} \equiv 7 \)).
- Nhân cả hai vế với 7:
\[
k \equiv 9 \times 7 \equiv 63 \equiv 12 \mod 17 \\
k = 17m + 12.
\]

Vậy \( x = 5(17m + 12) + 4 = 85m + 64 \), suy ra:
\[
x \equiv 64 \mod 85.
\]

Vậy \( 4^{15} \equiv 64 \mod 85 \).

Tiếp theo ta tính:

\[
T = \frac{2(4^{15} - 1)}{3} = \frac{2(64 - 1)}{3} = \frac{2 \cdot 63}{3} = 42.
\]

Cuối cùng, số dư khi chia \( T \) cho 85 là:

\[
\boxed{42}.
\]