Để phân tích bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu từ điều kiện \( \cos 2\alpha = -\frac{1}{4} \) và \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

### Bước 1: Tính giá trị của \( \sin\alpha \) và \( \cos\alpha \)

Sử dụng công thức:
\[
\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1
\]
ta có:
\[
2\cos^2 \alpha - 1 = -\frac{1}{4}
\]
Giải phương trình này:
\[
2\cos^2 \alpha = \frac{3}{4}
\]
\[
\cos^2 \alpha = \frac{3}{8}
\]
Do đó:
\[
\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{8}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}
\]

### Bước 2: Xác định dấu của \( \sin\alpha \) và \( \cos\alpha \)

Trong khoảng \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \):
- \( \cos \alpha < 0 \) (vì đang ở góc thứ ba).
- \( \sin \alpha < 0 \) (cũng vì ở góc thứ ba).

Vì vậy, \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{4} \).

### Bước 3: Sử dụng định lý Pythagore

Giá trị của \( \sin\alpha \) có thể tính như sau:
\[
\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}
\]
Do đó:
\[
\sin \alpha = -\sqrt{\frac{5}{8}} = -\frac{\sqrt{10}}{4}
\]

### Bước 4: Tính giá trị của cotang

Cotang được tính bằng:
\[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{4}}{-\frac{\sqrt{10}}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{15}}{5}
\]

### Kết luận

a) \( \sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0 \): **Đúng**.

b) \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{4} \): **Sai** (phải là -\(\frac{\sqrt{10}}{4}\)).

c) \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{4} \): **Sai** (phải là -\(\frac{\sqrt{6}}{4}\)).

d) \( \cot \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5} \): **Đúng**.

Tóm lại:
- a) Đúng
- b) Sai
- c) Sai
- d) Đúng