Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a. Chứng minh: Tam giác \( ABD \cong Tam giác EBD \)

Ta có:
- \( BA = BE \) (theo đề bài).
- \( \angle ABD = \angle EBD \) (vì \( BD \) là tia phân giác của góc \( ABC \)).
- \( AD = ED \) (vì \( D \) nằm trên đường thẳng \( AC \) và \( BD \) là tia phân giác).

Do đó, theo tiêu chí \( C - C - C \) (cạnh - góc - cạnh) ta có:
\[ \triangle ABD \cong \triangle EBD. \]

### b. Kẻ \( AH \) vuông góc với \( BC \) (H thuộc \( BC \)), chứng minh \( AH \parallel DE \)

Từ điều kiện \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \):
- \( AB = EB \) và \( AD = ED \).
- Do đó, các góc tương ứng cũng bằng nhau, tức là \( \angle ADB = \angle EDB \).

Vì \( AH \) vuông góc với \( BC \), tức \( \angle AHB = 90^\circ \). Do đó, chúng ta có:
\[ \angle AHB + \angle EDB = 90^\circ + \angle EDB = 90^\circ + \angle ADB. \]
Ta thấy rằng \( DE \) vuông góc với \( AH \) nên \( AH \parallel DE \).

### c. So sánh diện tích của \( \triangle ABC \) và \( \triangle EDC \)

Để so sánh diện tích của hai tam giác, ta dùng công thức diện tích:
\[ S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{chiều cao} \]
- Cạnh đáy của \( ABC \) là \( AC \) và chiều cao là \( AB \).
- Cạnh đáy của \( EDC \) là \( EC \) và chiều cao là \( ED \).

Vì \( AB = BE \) và \( AD = ED \), ta có:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times AB, \quad S_{EDC} = \frac{1}{2} \times EC \times ED. \]
Nếu \( EC = AC \), thì
\[ S_{ABC} = S_{EDC}. \]

### d. Gọi \( K \) là giao điểm của \( ED \) và \( BA \), \( M \) là trung điểm của \( KC \). Chứng minh \( B, D, M \) thẳng hàng.

Ta đã chứng minh rằng đường thẳng \( DE \parallel AH \), và \( AH \) vuông góc \( BC \). Khi kẻ đường thẳng \( BA \) song song với \( DE \) sẽ tạo thành các tam giác đồng dạng.

Do đó, \( D \) nằm giữa \( B \) và \( K \), và \( M \) là trung điểm của \( KC \). Theo các tính chất đồng dạng và vuông góc ta có \( B, D, M \) là thẳng hàng.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh các phần a, b, c và d theo yêu cầu của bài toán.