Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x + 3/x + 2. Điểm (x0; y0) thuộc (C) có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất, với x0 > 0

Để giải bài toán, ta bắt đầu xác định các tiệm cận của hàm số \( y = \frac{x + 3}{x + 2} \).

1. **Tiệm cận ngang**: Xét giới hạn khi \( x \to \infty \):

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 1
\]

Do đó, đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \).

2. **Tiệm cận đứng**: Tìm nơi mẫu bằng 0:

\[
x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2
\]

Do đó, đường tiệm cận đứng là \( x = -2 \).

Ta cần tính khoảng cách từ điểm \( (x_0, y_0) \) đến hai đường tiệm cận.

- Khoảng cách đến tiệm cận ngang \( y = 1 \) là \( |y_0 - 1| \).
- Khoảng cách đến tiệm cận đứng \( x = -2 \) là \( |x_0 + 2| \).

Tổng khoảng cách \( S \) là:

\[
S = |y_0 - 1| + |x_0 + 2|
\]

Vì điểm \( M(x_0, y_0) \) thuộc (C), ta có:

\[
y_0 = \frac{x_0 + 3}{x_0 + 2}
\]

Thay \( y_0 \) vào biểu thức \( S \):

\[
S = \left| \frac{x_0 + 3}{x_0 + 2} - 1 \right| + |x_0 + 2|
\]

Tính khoảng cách đến tiệm cận ngang:

\[
\frac{x_0 + 3}{x_0 + 2} - 1 = \frac{x_0 + 3 - (x_0 + 2)}{x_0 + 2} = \frac{1}{x_0 + 2}
\]

Vì \( x_0 > 0 \), ta có:

\[
S = \frac{1}{x_0 + 2} + |x_0 + 2| = \frac{1}{x_0 + 2} + (x_0 + 2)
\]

Đặt \( u = x_0 + 2 \), với \( u > 2 \) (vì \( x_0 > 0 \)), ta cần tối thiểu hóa:

\[
S = \frac{1}{u} + u
\]

Tính đạo hàm:

\[
S' = -\frac{1}{u^2} + 1
\]

Đặt \( S' = 0 \):

\[
-\frac{1}{u^2} + 1 = 0 \Rightarrow 1 = \frac{1}{u^2} \Rightarrow u^2 = 1 \Rightarrow u = 1 \text{ (bỏ vì } u > 2\text{)}
\]

Xét giới hạn của \( S \) khi \( u \to 2 \) và \( u \to \infty \):

- Khi \( u \to 2 \): \( S \to 2.5 \)
- Khi \( u \to \infty \): \( S \to \infty \)

Chỉ số tối thiểu tại \( u = 3 \) (giá trị nhỏ nhất trên khoảng \( (2, \infty) \)).

Tính \( x_0 \):

\[
u = x_0 + 2 = 3 \Rightarrow x_0 = 1
\]

Tính \( y_0 \):

\[
y_0 = \frac{1 + 3}{1 + 2} = \frac{4}{3}
\]

Cuối cùng, tính tổng \( x_0 + y_0 \):

\[
x_0 + y_0 = 1 + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}
\]

Do đó, kết quả là:

\[
\boxed{\frac{7}{3}}
\]