Để chứng minh đẳng thức \((a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a^5 + b^5\), chúng ta tiến hành khai triển vế bên trái.

### Bước 1: Khai triển vế bên trái
Ta có:
\[
(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)
\]

Khai triển bằng cách nhân từng hạng tử trong dấu ngoặc với \((a + b)\).

1. Nhân \(a\):
\[
a \cdot a^4 = a^5
\]
\[
a \cdot (-a^3b) = -a^4b
\]
\[
a \cdot a^2b^2 = a^3b^2
\]
\[
a \cdot (-ab^3) = -a^2b^3
\]
\[
a \cdot b^4 = ab^4
\]

2. Nhân \(b\):
\[
b \cdot a^4 = a^4b
\]
\[
b \cdot (-a^3b) = -a^3b^2
\]
\[
b \cdot a^2b^2 = a^2b^3
\]
\[
b \cdot (-ab^3) = -ab^4
\]
\[
b \cdot b^4 = b^5
\]

### Bước 2: Cộng các hạng tử lại
Giờ ta sẽ cộng các hạng tử lại:
\[
a^5 + (-a^4b + a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (-a^2b^3 + a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) + b^5
\]

Khi cộng lại, chúng ta thấy:
- Hạng tử \(a^5\) không cộng với gì nên vẫn là \(a^5\).
- Hạng tử \(b^5\) không cộng với gì nên vẫn là \(b^5\).
- Hạng tử \(-a^4b\) và \(a^4b\) sẽ triệt tiêu nhau (bằng 0).
- Hạng tử \(a^3b^2\) và \(-a^3b^2\) cũng triệt tiêu.
- Hạng tử \(-a^2b^3\) và \(a^2b^3\) triệt tiêu.
- Hạng tử \(ab^4\) và \(-ab^4\) cũng triệt tiêu.

### Kết luận
Tất cả những hạng tử không triệt tiêu đều ra kết quả:
\[
a^5 + b^5
\]

Vậy ta có:
\[
(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a^5 + b^5
\]

Chứng minh đã hoàn tất.