Tìm x thỏa mãn

Để giải phương trình:
\[
|x-10|^{10} + |x-11|^{11} = 1
\]

Ta phân tích các trường hợp khác nhau cho \( x \) dựa trên giá trị của \( x \):

1. **Trường hợp 1: \( x < 10 \)**
\[
|x-10| = 10 - x, \quad |x-11| = 11 - x
\]
Phương trình trở thành:
\[
(10-x)^{10} + (11-x)^{11} = 1
\]

2. **Trường hợp 2: \( 10 \leq x < 11 \)**
\[
|x-10| = x - 10, \quad |x-11| = 11 - x
\]
Phương trình trở thành:
\[
(x-10)^{10} + (11-x)^{11} = 1
\]

3. **Trường hợp 3: \( x \geq 11 \)**
\[
|x-10| = x - 10, \quad |x-11| = x - 11
\]
Phương trình trở thành:
\[
(x-10)^{10} + (x-11)^{11} = 1
\]

### Giải từng trường hợp:

**Trường hợp 1: \( x < 10 \)**
- \( (10-x)^{10} \) có thể lớn hơn 1, và \( (11-x)^{11} \) cũng lớn hơn 1, vì vậy không thỏa mãn phương trình.

**Trường hợp 2: \( 10 \leq x < 11 \)**
- Ta thử một số giá trị. Ví dụ:
- \( x = 10 \):
\[
(10-10)^{10} + (11-10)^{11} = 0 + 1 = 1
\]
Thỏa mãn.

- \( x = 11 \):
\[
(11-10)^{10} + (11-11)^{11} = 1 + 0 = 1
\]
Thỏa mãn.

**Trường hợp 3: \( x \geq 11 \)**
- Với \( x \) lớn hơn 11, cả hai biểu thức \( (x-10)^{10} \) và \( (x-11)^{11} \) sẽ lớn và không bao giờ có thể bằng 1.

### Kết luận

Vậy, các giá trị thỏa mãn phương trình là:
\[
x = 10 \quad \text{và} \quad x = 11
\]