Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, chúng ta có AB = 12 cm và BC = 20 cm. Trước tiên, chúng ta sẽ tính độ dài đường huyền AC.

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

Thay số vào, ta có:

\[
AC^2 = 12^2 + 20^2 = 144 + 400 = 544
\]

Do đó:

\[
AC = \sqrt{544} = \sqrt{16 \cdot 34} = 4\sqrt{34} \text{ cm}
\]

### Tính độ dài đường cao AH

Đường cao AH trong tam giác vuông tính bằng công thức:

\[
AH = \frac{AB \cdot BC}{AC}
\]

Thay số vào, ta có:

\[
AH = \frac{12 \cdot 20}{4\sqrt{34}} = \frac{240}{4\sqrt{34}} = \frac{60}{\sqrt{34}} \text{ cm}
\]

Để đưa về dạng tiêu chuẩn, ta nhân và chia cho \(\sqrt{34}\):

\[
AH = \frac{60\sqrt{34}}{34} = \frac{30\sqrt{34}}{17} \text{ cm}
\]

### Tính độ dài đường phân giác AD

Đường phân giác trong tam giác có thể tính bằng công thức:

\[
AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + BC}
\]

Thay vào các giá trị đã biết:

\[
AD = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4\sqrt{34}}{12 + 20} = \frac{96\sqrt{34}}{32} = 3\sqrt{34} \text{ cm}
\]

### Kết luận

- Độ dài đường cao AH là: \(\frac{30\sqrt{34}}{17} \text{ cm}\)
- Độ dài đường phân giác AD là: \(3\sqrt{34} \text{ cm}\)