Để tính đạo hàm riêng \( df(1, 1) \) của hàm \( f(x, y) = \frac{x + y}{2 + y} \), ta sẽ cần xác định các đạo hàm riêng theo từng biến.

### 1. Tính đạo hàm riêng theo biến x

Ta có:
\[
f(x, y) = \frac{x + y}{2 + y}
\]
Áp dụng quy tắc đạo hàm thương, ta có:
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(2 + y)(1) - (x + y)(0)}{(2 + y)^2} = \frac{2 + y}{(2 + y)^2} = \frac{1}{2 + y}
\]

### 2. Tính đạo hàm riêng theo biến y

Áp dụng quy tắc đạo hàm thương, ta có:
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(2 + y)(1) - (x + y)(1)}{(2 + y)^2} = \frac{(2 + y) - (x + y)}{(2 + y)^2} = \frac{2 - x}{(2 + y)^2}
\]

### 3. Đánh giá các đạo hàm tại điểm (1, 1)

Bây giờ, ta sẽ tính các giá trị của các đạo hàm tại điểm \((1, 1)\):

Tính \( \frac{\partial f}{\partial x} \) tại \((1, 1)\):
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}
\]

Tính \( \frac{\partial f}{\partial y} \) tại \((1, 1)\):
\[
\frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = \frac{2 - 1}{(2 + 1)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}
\]

### 4. Viết đạo hàm toàn phần

Hàm vi phân \( df \) tại điểm \((1, 1)\) được tính bằng:
\[
df(1, 1) = \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) dx + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) dy
\]
\[
= \frac{1}{3} dx + \frac{1}{9} dy
\]

Vậy, kết quả cuối cùng là:
\[
df(1, 1) = \frac{1}{3} dx + \frac{1}{9} dy
\]