Để tính chiều cao AH của tam giác vuông ABC tại A, chúng ta có thể sử dụng định lý Pytago và công thức liên quan đến diện tích của tam giác.

1. **Tính độ dài cạnh BC**:
Theo định lý Pytago, trong tam giác vuông:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay số vào:
\[
BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625
\]
\[
BC = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]

2. **Tính diện tích của tam giác ABC**:
Diện tích \( S \) của tam giác ABC được tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150 \text{ cm}^2
\]

3. **Tính chiều cao AH**:
Đường cao AH được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
Thay \( S \) và \( BC \) vào phương trình:
\[
150 = \frac{1}{2} \times 25 \times AH
\]
Giải cho AH:
\[
150 = 12.5 \times AH
\]
\[
AH = \frac{150}{12.5} = 12 \text{ cm}
\]

Vậy chiều cao AH của tam giác ABC là **12 cm**.