Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = (15a)/(675 - bc) + (15b)/(675 - ac) + (15c)/(675 - ab)

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
P = \frac{15a}{675 - bc} + \frac{15b}{675 - ac} + \frac{15c}{675 - ab},
\]

cách tiếp cận hợp lý là sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \sum_{cyc} \frac{15a}{675 - bc} \right) \left( \sum_{cyc} 15a(675 - bc) \right) \geq (15(a + b + c))^2.
\]

Ta có

\[
\sum_{cyc} 15a(675 - bc) = 15(675(a + b + c) - (abc + abc + abc)) = 15(675(a + b + c) - 3abc).
\]

Do đó, áp dụng Cauchy-Schwarz, ta được:

\[
P \cdot 15(675(a + b + c) - 3abc) \geq (15(a + b + c))^2.
\]

Nói cách khác:

\[
P \geq \frac{(15(a + b + c))^2}{15(675(a + b + c) - 3abc)} = \frac{15(a + b + c)^2}{675(a + b + c) - 3abc}.
\]

Để tối ưu hóa, giả sử \(a + b + c\) đạt giá trị tối ưu khi \(a = b = c\). Gọi \(a = b = c = x\), ta có:

\[
P = 3 \cdot \frac{15x}{675 - x^2} = \frac{45x}{675 - x^2}.
\]

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức này, ta cần tìm cực trị của hàm số:

\[
f(x) = \frac{45x}{675 - x^2}.
\]

Tính đạo hàm:

\[
f'(x) = \frac{(675 - x^2)(45) - 45x(-2x)}{(675 - x^2)^2} = \frac{45(675 - x^2 + 2x^2)}{(675 - x^2)^2} = \frac{45(675 + x^2)}{(675 - x^2)^2}.
\]

Giá trị này dương khi \(x^2 < 675\).

Giới hạn của \(x\) là \(x < \sqrt{675} = 15 \sqrt{3}\). Ta kiểm tra giá trị gần cực trị:

Khi \(x = 15\):

\[
P = \frac{45 \cdot 15}{675 - 15^2} = \frac{675}{675 - 225} = \frac{675}{450} = \frac{3}{2}.
\]

Với \(x\) tăng lên, tỷ lệ tăng và đến giá trị cực trị thì:

Khi \(x \to 15\sqrt{3}\):

\[
675 - (15\sqrt{3})^2 = 675 - 675 = 0.
\]

Kết luận, giá trị lớn nhất của \(P\) là

\[
P = \frac{3}{2},
\]

đạt được tại \(a = b = c = 15\).