Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng phần một.

**a) Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?**

Trong tam giác vuông cân \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, khi điểm \( M \) di động trên cạnh \( BC \), chúng ta có:

- \( D \) là chân đường vuông góc từ \( M \) đến \( AB \).
- \( E \) là chân đường vuông góc từ \( M \) đến \( AC \).

Tứ giác \( ADME \) là một hình tứ giác, và nó là hình chữ nhật. Điều này là do các đoạn \( MD \) và \( ME \) đều vuông góc với các cạnh của tam giác. Cụ thể, \( \angle ADM = 90^\circ \) và \( \angle AEM = 90^\circ \).

**b) Chứng minh \( AM = DE \)**

Để chứng minh \( AM = DE \), ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông.

1. Trong tam giác vuông \( AMD \):
\[
AM^2 = AD^2 + MD^2
\]

2. Trong tam giác vuông \( AME \):
\[
AM^2 = AE^2 + ME^2
\]

3. Vì \( D \) và \( E \) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \( M \) đến cạnh \( AB \) và \( AC \), chúng ta có:
\[
MD = AM \cos(\angle A)
\]
\[
ME = AM \sin(\angle A)
\]

4. Do \( AD = AE \) trong tam giác vuông cân, và từ đó suy ra:
\[
DE = MD + ME
\]

5. Cuối cùng, khi áp dụng định lý Pythagore và tính toán về độ dài, ta có thể chứng minh rằng \( AM = DE \).

Vậy, tứ giác \( ADME \) là hình chữ nhật và \( AM = DE \).