Để tính \( A \) từ công thức \( A = 3\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \) với điều kiện \( \cos \alpha = \frac{1}{3} \), trước hết, ta cần sử dụng định lý Pythagore để tìm \( \sin^2 \alpha \).

1. **Tính \( \sin^2 \alpha \)**:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha + \frac{1}{9} = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]

2. **Thay giá trị vào công thức \( A \)**:
\[
A = 3\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 3\left(\frac{8}{9}\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^2
\]
\[
A = 3 \cdot \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = \frac{24}{9} + \frac{1}{9} = \frac{25}{9}
\]

Vậy kết quả là:
\[
A = \frac{25}{9}
\]