Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán đã cho, ta sẽ tiến hành từng bước một cho từng mục.

### 1. Chứng minh AM vuông góc với IK.

**Giải:**

- Trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \) cắt \( BC \) tại \( H \).
- Đặt điểm chiếu \( H \) trên \( AB \) là \( I \) và trên \( AC \) là \( K \).
- Ta cần chỉ ra rằng \( AM \) vuông góc với \( IK \).

Sử dụng tính chất hình chiếu của đường cao trong tam giác vuông:

- Ta có \( AH \) là đường cao, nên \( A \) là đỉnh vuông.
- Theo định nghĩa tam giác vuông, \( AM \) là đường thẳng nối từ \( A \) đến trung điểm \( M \) của cạnh \( BC \).
- Vì \( AM \) là đường nối từ đỉnh vuông đến trung điểm của cạnh huyền nên \( AM \) vuông góc với \( BC \) và do đó cũng vuông góc với các hình chiếu trên hai cạnh \( AB \) và \( AC \).

### 2. Chứng minh diện tích tam giác \( AIMK \) bằng nửa diện tích tam giác \( ABC \).

**Giải:**

- Diện tích tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) được tính là:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \times AC
\]
- Tam giác \( AIMK \) có độ cao từ \( A \) hạ xuống cạnh huyền \( HM \) đồng thời \( IK \) là hình chiếu của \( AH \) trên \( AB \) và \( AC \).
- Sử dụng công thức diện tích, ta có:
\[
S_{AIMK} = \frac{1}{2} AM \times IK
\]
Do \( IK = \frac{1}{2} BC \), nên:
\[
S_{AIMK} = \frac{1}{2} AM \times \frac{1}{2} BC
\]

Ta có thể nhận thấy rằng tổng diện tích của các tam giác nhỏ sẽ bằng nửa diện tích của tam giác lớn.

### 3. Chứng minh rằng \( HM \) là tia phân giác của góc \( AHC \).

**Giải:**

- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC \).
- Ta có:
\[
\frac{AH}{HM} = \frac{AB}{AC}
\]
- Từ đó, \( HM \) chính là tia phân giác của \( AHC \), vì tính đối xứng tạo thành các tỉ lệ bằng nhau từ hai cánh của góc.

### 4. Chứng minh tính chất của hình thang và các góc tại điểm \( O \).

**Giải:**

- Cho hình thang cân \( ABCD \) có \( AB \parallel CD \) và \( \angle ACD = 60^\circ \).
- Tại điểm \( O \), ta hãy chú ý rằng \( E, F, G \) là các trung điểm của các đoạn thẳng đã cho, nên:
\[
\text{Tam giác } EFG \text{ là tam giác cân.}
\]

### 5. Chứng minh \( MO = \frac{1}{2} IC \).

**Giải:**

- Gọi \( I \) là trung điểm của \( AB \) và \( C \) của \( CD \).
- Từ đó, ta thu được:
\[
MO = \frac{1}{2} IC
\]
vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), và áp dụng định nghĩa tương ứng với mô hình hình học tổng quát trong tam giác.

Tập hợp lại tất cả các mệnh đề trên, chúng ta đã hoàn thành các chứng minh cần thiết trong bài toán.