Để tìm tất cả các số nguyên tố \(p\), \(q\), \(r\) thỏa mãn đẳng thức

\[
(p^2 + a)(q^2 + 1) = r^2 + 1,
\]

trước tiên chúng ta phân tích phương trình này. Để đơn giản hóa, chúng ta cần xác định giá trị của \(a\). Giả sử \(a\) là một số nguyên không âm, vì nó sẽ ảnh hưởng đến cách thức \(p^2 + a\) và \(q^2 + 1\) tương tác.

### Bước 1: Kiểm tra một số giá trị nhỏ

Ta hãy thử một số giá trị khác nhau cho \(p\), \(q\) và \(r\) là các số nguyên tố nhỏ:

1. **Giá trị \(p = 2\):**
\[
(2^2 + a)(q^2 + 1) = r^2 + 1 \implies (4 + a)(q^2 + 1) = r^2 + 1.
\]

2. **Giá trị \(q = 2\):**
\[
(4 + a)(2^2 + 1) = r^2 + 1 \implies (4 + a)(4 + 1) = r^2 + 1 \implies (4 + a) \cdot 5 = r^2 + 1.
\]

### Bước 2: Tìm giá trị của \(a\)

Giả sử \(a = 0\):
\[
5 \cdot 4 = r^2 + 1 \implies 20 = r^2 + 1 \implies r^2 = 19.
\]
Số \(r\) không phải là số nguyên, vì \(19\) không phải là hình bình phương của một số nguyên.

Thử với các giá trị khác cho \(q\), giả sử \(q = 3\):

\[
(4 + a)(3^2 + 1) = r^2 + 1 \implies (4 + a)(9 + 1) = r^2 + 1 \implies (4 + a) \cdot 10 = r^2 + 1.
\]

Giả sử \(a = 0\):
\[
10 \cdot 4 = r^2 + 1 \implies 40 = r^2 + 1 \implies r^2 = 39.
\]
Cũng không có giá trị nguyên.

### Bước 3: Thử với các giá trị số nguyên tố khác

Hãy thử nhiều giá trị của \(p\), \(q\), \(r\) với những các nguyên khác nhau như \(p = 3\), \(q = 5\), \(a = 0\) và kiểm tra để xác định xem nhiều hơn:

\[
(3^2 + a)(5^2 + 1) = r^2 + 1 \implies (9 + a)(25 + 1)
\]

Cuối cùng, quá trình thử nghiệm và phương pháp tìm kiếm khác sẽ được cần thiết để phát hiện các cặp nguyên tố.

Lưu ý rằng những điều trên là một hướng tiếp cận để giải quyết bài toán này. Nguyên tắc chính là tra cứu và thử nghiệm số cho đến khi tìm ra được các cặp \(p\), \(q\), \(r\) thỏa mãn yêu cầu.

**Tóm lại**, thử nghiệm trực tiếp từ các giá trị nhỏ cho thấy rằng việc tìm giá trị nguyên tố cho \(p\), \(q\), \(r\) phụ thuộc mạnh vào giá trị của \(a\). Để có một kết quả cuối cùng, bạn sẽ cần tiếp tục thử nghiệm và kiểm tra nhiều trường hợp.