Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[
x^3 + x^2 + x + 1 = y^3,
\]

trước tiên, ta có thể biến đổi phương trình một chút:

\[
x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 1).
\]

Từ đây, chúng ta cần tìm điều kiện để biểu thức này bằng \( y^3 \).

1. **Xét các giá trị nhỏ cho x**: Chúng ta có thể thay một vài giá trị nguyên cho \( x \) và kiểm tra xem có thể tìm được \( y \) không.

- \( x = 0 \):
\[
0^3 + 0^2 + 0 + 1 = 1 = 1^3 \rightarrow y = 1.
\]

- \( x = 1 \):
\[
1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 4 \quad (y^3 = 4, không có y nguyên).
\]

- \( x = 2 \):
\[
2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 15 \quad (y^3 = 15, không có y nguyên).
\]

- \( x = 3 \):
\[
3^3 + 3^2 + 3 + 1 = Penn 37 \quad (y^3 = 37, không có y nguyên).
\]

- \( x = -1 \):
\[
(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 0 = 0^3 \rightarrow y = 0.
\]

- \( x = -2 \):
\[
(-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + 1 = -7 \quad (không có y nguyên).
\]

- \( x = -3 \):
\[
(-3)^3 + (-3)^2 + (-3) + 1 = -25 \quad (không có y nguyên).
\]

2. **Tổng hợp kết quả**:
Chúng ta có một số cặp giá trị \( (x, y) \):

- \( (0, 1) \)
- \( (-1, 0) \)

3. **Kết luận**:

Giải pháp tìm được cho phương trình \( x^3 + x^2 + x + 1 = y^3 \) là:

\[
(x,y) = (0, 1) \quad \text{và} \quad (x,y) = (-1, 0).
\]

Nếu bạn muốn kiểm tra thêm các giá trị lớn hơn hoặc nghịch đảo (các giá trị âm lớn hơn), ta có thể sử dụng phương pháp phân tích nhiều hơn, nhưng cho đến nay các cặp này là những giải pháp rõ ràng.