Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, đường trung tuyến AM = 25 cm

Ta có tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là đỉnh vuông, tức là \(AB\) vuông góc với \(AC\). Đặt \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\).

### a) Chứng minh \( \frac{BH}{HC} = \frac{16}{9} \)

**Bước 1: Tính độ dài đường cao \( AH \)**

Đối với tam giác vuông \(ABC\), chiều cao \( AH \) được tính bằng công thức:

\[
AH = \frac{bc}{a}
\]

với \( a = \sqrt{b^2 + c^2} \).

**Bước 2: Tính độ dài đường trung tuyến \( AM \)**

Đường trung tuyến \( AM \) từ đỉnh \( A \) đến trung điểm \( M \) của cạnh \( BC \) được tính bằng công thức:

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2 + c^2)} = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}
\]

**Bước 3: Từ điều kiện đề bài \( AM = 25 \) cm**

Từ đó ta có:

\[
\frac{a}{\sqrt{2}} = 25 \implies a = 25 \sqrt{2}
\]

**Bước 4: Tính độ dài \( AH \)**

Sử dụng công thức của AH:

\[
AH = \frac{bc}{a} \Rightarrow H \text{ là giao điểm của đường cao, do đó } H \in BC
\]

Để chứng minh tỉ lệ \(\frac{BH}{HC} = \frac{16}{9}\), ta sẽ sử dụng tỉ lệ phân đoạn trên đoạn \( BC \).

### b) Tính \( AB \) và \( AC \)

**Bước 5: Sử dụng định lý Pytago cho tam giác vuông**

Ta đã có:

1. \( a = 25 \sqrt{2} \)
2. \( a^2 = b^2 + c^2 \)

Áp dụng định lý Pythagore:

\[
(25 \sqrt{2})^2 = b^2 + c^2
\]
\[
1250 = b^2 + c^2
\]

**Bước 6: Áp dụng tỉ lệ phân đoạn**

Từ tỉ lệ \( \frac{BH}{HC} = \frac{16}{9} \):

Gọi \( BH = 16k \) và \( HC = 9k \) thì:

\[
BC = BH + HC = 16k + 9k = 25k
\]

Thay vào đó, ta có \( BC = a = 25 \sqrt{2} \):

\[
25k = 25\sqrt{2} \implies k = \sqrt{2}
\]

Do đó:

\[
BH = 16k = 16\sqrt{2} \quad \text{và} \quad HC = 9k = 9\sqrt{2}
\]

**Bước 7: Thay vào phương trình \(1250 = b^2 + c^2\)**

Ta có:

\[
b^2 = BH^2 + AH^2 = (16\sqrt{2})^2 + AH^2 = 512 + \left( \frac{bc}{a} \right)^2
\]

Nhưng để đơn giản hơn, điều này có thể được giải quyết qua một hệ phương trình khác hoặc trực tiếp với \( b \) và \( c \).

Tóm lại, để tìm \( AB \) và \( AC \), ta cần thêm thông tin về \( AH \) hoặc một trong hai cạnh. Mục tiêu là thiết lập hệ số từ đó để giải.

Hãy cho biết nếu bạn cần chi tiết hơn về bước này hoặc cần thêm thông tin!