Để giải bài toán, ta cần giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x - my = 0 \\
mx - 4y = m + 2
\end{cases}
\]

**a) Giải hệ khi \( m = -1 \)**:

Thay \( m = -1 \) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = 0 \\
-x - 4y = 1
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu tiên:

\[
x = -y
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
-(-y) - 4y = 1 \implies y - 4y = 1 \implies -3y = 1 \implies y = -\frac{1}{3}
\]

Từ đó, \( x = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \).

Giải hệ khi \( m = -1 \) được \( x = \frac{1}{3} \) và \( y = -\frac{1}{3} \).

**b) Tìm giá trị nguyên của \( m \) để hệ có nghiệm nguyên**:

Giả sử \( x = k \) và \( y = t \) là nghiệm nguyên, từ hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
k - mt = 0 \implies m = \frac{k}{t} \\
mk - 4t = m + 2
\end{cases}
\]

Thay \( m \) vào phương trình thứ hai:

\[
\frac{k}{t}k - 4t = \frac{k}{t} + 2
\]

Nhân mọi thành phần với \( t \) để loại bỏ mẫu:

\[
k^2 - 4t^2 = k + 2t
\]

Rút gọn:

\[
k^2 - 2t - 4t^2 - k = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai với \( k \) và để có nghiệm nguyên, cần xác định điều kiện cho Delta của nó hoàn thành bình phương.

**c) Xác định \( m \) để hệ có nghiệm \( x > 0; y > 0 \)**:

Từ phương trình đầu tiên \( x = my \) và từ phương trình thứ hai biến đổi:

\[
my - 4y = m + 2 \implies (m - 4)y = m + 2 \implies y = \frac{m + 2}{m - 4}
\]

Ta cần \( y > 0 \), điều này xảy ra khi \( m + 2 \) và \( m - 4 \) cùng dấu.

1. \( m + 2 > 0 \implies m > -2 \)
2. \( m - 4 > 0 \implies m > 4 \)

Do đó, \( m > 4 \) là điều kiện cần thiết để có nghiệm \( x > 0 \) và \( y > 0 \).

Kết luận:

- *a)* \( x = \frac{1}{3}, y = -\frac{1}{3} \).
- *b)* Cần giải phương trình bậc hai để tìm giá trị nguyên của \( m \).
- *c)* \( m > 4 \).