Để tính thể tích của hình chóp tam giác đều, ta sử dụng công thức:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{đáy} \cdot h
\]

Trong đó:
- \( V \) là thể tích.
- \( S_{đáy} \) là diện tích đáy.
- \( h \) là chiều cao.

### a) Tính thể tích hình chóp tam giác đều:
- Diện tích đáy \( S_{đáy} = 6 \, \text{cm}^2 \)
- Chiều cao \( h = 4 \, \text{cm} \)

\[
V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 4 = \frac{24}{3} = 8 \, \text{cm}^3
\]

### b) Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều:
- Chiều cao \( h = 10 \, \text{cm} \)
- Cạnh đáy \( a = 4 \, \text{cm} \)
- Diện tích đáy \( S_{đáy} = a^2 = 4^2 = 16 \, \text{cm}^2 \)

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{đáy} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 10 = \frac{160}{3} \approx 53.33 \, \text{cm}^3
\]

### c) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp tứ giác đều:
- Diện tích xung quanh \( S_{xq} = 60 \, \text{cm}^2 \)
- Độ dài cạnh đáy \( a = 6 \, \text{cm} \)

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:

\[
S_{xq} = \frac{1}{2} \cdot P_{đáy} \cdot l
\]
Trong đó \( P_{đáy} = 4a \) và \( l \) là chiều cao của tam giác tạo thành diện tích xung quanh. Ta có:
\[
P_{đáy} = 4 \cdot 6 = 24 \, \text{cm}
\]
\[
60 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot l \implies 60 = 12l \implies l = 5 \, \text{cm}
\]

### d) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác:
- Diện tích đáy \( S_{đáy} = a^2 = 12^2 = 144 \, \text{cm}^2 \)
- Chiều cao mặt bên \( h_{mb} = 8 \, \text{cm} \)
- Diện tích xung quanh:

\[
S_{xq} = \frac{1}{2} \cdot P_{đáy} \cdot h_{mb} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 8 = 192 \, \text{cm}^2
\]

- Diện tích toàn phần:

\[
S_{TP} = S_{đáy} + S_{xq} = 144 + 192 = 336 \, \text{cm}^2
\]

### e) Tính chu vi đáy của hình chóp tứ giác đều:
- Thể tích hình chóp \( V = 125 \, \text{cm}^3 \)
- Chiều cao \( h = 15 \, \text{cm} \)

\[
125 = \frac{1}{3} \cdot P_{đáy} \cdot 15 \implies 125 = 5P_{đáy} \implies P_{đáy} = 25 \, \text{cm}
\]

### f) Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều:
- Độ dài cạnh đáy \( a = 10 \, \text{cm} \)
- Chiều cao của chóp \( h = 12 \, \text{cm} \)
- Diện tích xung quanh:

\[
S_{xq} = \frac{1}{2} \cdot P_{đáy} \cdot l
\]

Với \( P_{đáy} = 3a \) và \( l \) là độ dài của đường vuông góc từ đỉnh xuống cạnh đáy:

- Tính \( l \) bằng bình phương của cạnh tam giác vuông (trong đó đáy là nửa cạnh chóp):
\[
l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm}
\]

- Diện tích xung quanh:

\[
S_{xq} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 13 = 195 \, \text{cm}^2
\]

Tóm lại:
1. \( V \) hình chóp tam giác đều: \( 8 \, \text{cm}^3 \).
2. \( V \) hình chóp tứ giác đều: \( \approx 53.33 \, \text{cm}^3 \).
3. Độ dài trung đoạn hình chóp tứ giác đều: \( 5 \, \text{cm} \).
4. Diện tích xung quanh: \( 192 \, \text{cm}^2 \); Diện tích toàn phần: \( 336 \, \text{cm}^2 \).
5. Chu vi đáy: \( 25 \, \text{cm} \).
6. Diện tích xung quanh hình chóp tam giác đều: \( 195 \, \text{cm}^2 \).