Để chứng minh rằng \(4^n + 2021\) chia hết cho 3 với mọi \(n\) là số nguyên dương, chúng ta sẽ xem xét từng thành phần của biểu thức này.

Đầu tiên, chúng ta tính \(4^n \mod 3\):
- Xét \(4 \mod 3\), ta có \(4 \equiv 1 \mod 3\).
- Do đó, \(4^n \equiv 1^n \equiv 1 \mod 3\) với mọi \(n\) nguyên dương.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính \(2021 \mod 3\):
- Chia \(2021\) cho \(3\) để tìm số dư. Ta có \(2021 = 3 \times 673 + 2\), tức là \(2021 \equiv 2 \mod 3\).

Bây giờ, ta cộng hai kết quả trên lại:
\[
4^n + 2021 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \equiv 0 \mod 3
\]

Vì vậy, \(4^n + 2021\) chia hết cho \(3\).

Từ đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
4^n + 2021 \text{ chia hết cho } 3 \text{ với mọi } n \text{ là số nguyên dương.}
\]

Chứng minh hoàn tất.