Trong một hình thoi, các cặp góc đối diện bằng nhau, và tổng của các góc trong một tứ giác là \(360^\circ\). Do đó:

1. Nếu góc M bằng \(72^\circ\), thì góc P (góc đối diện với góc M) cũng bằng \(72^\circ\).
2. Các góc N và Q (các góc còn lại) sẽ được tính như sau:
\[
\text{Tổng các góc trong hình thoi} = 360^\circ \implies \angle M + \angle N + \angle P + \angle Q = 360^\circ
\]
\[
72^\circ + \angle N + 72^\circ + \angle Q = 360^\circ
\]
\[
\angle N + \angle Q = 360^\circ - 144^\circ = 216^\circ
\]
Và vì góc N và Q cũng đối nhau nên:
\[
\angle N = \angle Q \implies 2 \angle N = 216^\circ \implies \angle N = \angle Q = 108^\circ
\]

Vậy, ta có:
- \(\angle M = 72^\circ\)
- \(\angle P = 72^\circ\)
- \(\angle N = 108^\circ\)
- \(\angle Q = 108^\circ\)

Khi hai đường chéo của hình thoi cắt nhau tại điểm I, thì các góc tại điểm I được tạo thành giữa các đoạn chéo là:

- \(\angle PIQ\) và \(\angle NIM\) là một cặp góc đối diện và bằng nhau, nên:
\[
\angle PIQ = \frac{1}{2}(\angle M + \angle Q) = \frac{1}{2}(72^\circ + 108^\circ) = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ
\]

- Tương tự, \(\angle PIQ\) và \(\angle PIM\) là một cặp góc đối diện và bằng nhau. Do đó:
\[
\angle PIM = 90^\circ
\]
\[
\angle INQ = \frac{1}{2}(\angle N + \angle P) = \frac{1}{2}(108^\circ + 72^\circ) = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ
\]

Vậy ta sẽ tính các góc trong tam giác PIQ:

1. **\(\angle P IQ\):** chính là tổng của \(\angle PIM\) và \(\angle PIQ\), nên \(\angle PIQ + 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\):
- Các góc trong tam giác PIQ là \(\angle P IQ + 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \implies \angle PIQ = 90^\circ\).

2. **Tam giác PIQ có:**
- \(\angle PIQ = 90^\circ\) (thẳng đứng)
- \(\angle IQP = 72^\circ\)
- \(\angle P IQ = \angle QIP = 108^\circ\).

Từ đó, các góc của tam giác PIQ là:
- \(\angle P IQ = 72^\circ\)
- \(\angle IQP = 90^\circ\)
- \(\angle PIQ = 108^\circ\)

Vậy \(\angle PIQ = 90^\circ, \angle IQP = 72^\circ, \angle QIP = 108^\circ\).