Để giải bài toán, ta sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các định lý liên quan.

### Dữ liệu đã cho:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \)
- \( \angle B = 60^\circ \)
- \( BC = 6 \, cm \)

### Tính toán:

1. **Tính cạnh \( AB \) và \( AC \):**
- Trong tam giác vuông \( ABC \), ta có:
\[
\text{Trong nghịch đảo, ta có } \sin(60^\circ) = \frac{AC}{BC} \quad \Rightarrow \quad AC = BC \cdot \sin(60^\circ)
\]
\[
\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, cm
\]

- Tương tự cho \( AB \):
\[
\cos(60^\circ) = \frac{AB}{BC} \quad \Rightarrow \quad AB = BC \cdot \cos(60^\circ)
\]
\[
\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad AB = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \, cm
\]

### Kết luận:
- \( AB = 3 \, cm \)
- \( AC = 3\sqrt{3} \, cm \)