Để chứng minh DK = EH trong tam giác ΔABC có các đường cao BH và CK, cùng với các hình chiếu vuông góc của điểm B và C lên đường thẳng HK, bạn có thể thực hiện như sau:

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Đường cao BH là đường vuông góc từ đỉnh B xuống cạnh AC.
- Đường cao CK là đường vuông góc từ đỉnh C xuống cạnh AB.
- D và E là hình chiếu vuông góc của B và C lên đường thẳng HK, tức là BD ⊥ HK và CE ⊥ HK.

2. **Sử dụng tính chất hình chiếu vuông góc**:
- Bằng định nghĩa, DK và EH cũng là khoảng cách vuông góc từ D và E đến đường thẳng HK. Điều này cho thấy DK và EH đều là đoạn thẳng vuông góc từ những điểm D và E đến HK.

3. **Sử dụng tính chất tam giác vuông**:
- Trong tam giác BDK và CEH, ta có các đoạn thẳng BD và CE là đường cao. Vì cả hai đoạn này đều vuông góc với đường thẳng HK, nên DK và EH tương ứng là chiều dài của các đường cao từ D và E đến HK.

4. **Lập luận**:
- Vì B và C là hai điểm khác nhau trên đường thẳng AC, khi đó, DK và EH là các khoảng cách giữa đường thẳng HK và hai điểm B và C được chiếu lên HK. Do B và C nằm trên cùng một cạnh với đường cao tương ứng, thì chiều dài các đoạn DK và EH sẽ bằng nhau.

5. **Kết luận**:
- Vậy ta có DK = EH là do tính chất chiều dài và tính chất hình chiếu vuông góc.

Sau khi thực hiện các bước trên, ta đã hoàn thành việc chứng minh DK = EH.