Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách rõ ràng.

**a)** Chứng minh tam giác MEC và MFA là tam giác vuông cân:

1. **Tam giác MEC**:
- M là điểm nằm trên đường chéo AC của hình vuông ABCD (với A là góc trên trái, B là góc trên phải, C là góc dưới phải, D là góc dưới trái).
- ME vuông góc với CD: Điều này có nghĩa rằng góc CME = 90 độ.
- Vì ABCD là hình vuông, nên CD = AB (cạnh hình vuông) và AC là đường chéo. Ta có AC = \(c\sqrt{2}\) trong đó c là cạnh của hình vuông.
- Từ đó, ME là độ dài từ M đến đường thẳng CD. Do ME vuông góc với CD và CD là cạnh của hình vuông (cùng độ dài với các cạnh khác), do đó MEC là một tam giác vuông.
- Rõ ràng, ME = MC (khoảng cách từ M đến cạnh CD và từ M đến cạnh AC), vì vậy tam giác MEC là vuông cân.

2. **Tam giác MFA**:
- MF vuông góc với AD, do đó góc AMF = 90 độ.
- Tương tự như trên, AF = AM (khoảng cách từ M đến cạnh AD và từ A đến cạnh AD là bằng nhau).
- Vì vậy, tam giác MFA cũng là tam giác vuông cân.

Vậy, cả hai tam giác MEC và MFA đều là tam giác vuông cân.

---

**b)** Xác định tứ giác FMED là hình gì và tính chu vi của nó:

- Ở đây, tứ giác FMED được hình thành từ các điểm M, F, E và D.
- Ta đã chứng minh rằng góc MFE = 90 độ và góc MDF = 90 độ.
- Do hình vuông ABCD có tất cả các góc 90 độ và các cạnh bằng nhau, tứ giác FMED có hai cạnh bằng nhau (MF = ED và ME = FD)

Nếu M là một điểm nằm ở giữa trên đường chéo, tứ giác FMED là hình chữ nhật do có hai cặp cạnh song song bằng nhau và có góc vuông.

- **Tính chu vi**: Chu vi tứ giác FMED được tính bằng công thức:
\[
P = MF + FE + ED + DM
\]
Tuy nhiên, MF và ME sẽ phụ thuộc vào vị trí của M, vì vậy chu vi sẽ thay đổi nếu M di chuyển.

---

**c)** Điểm M ở vị trí nào thì tứ giác FMED là hình vuông:

- Để tứ giác FMED trở thành hình vuông, các cạnh phải bằng nhau và góc phải là 90 độ.
- Điều này xảy ra khi M nằm trên đoạn AC của hình vuông nhưng ở vị trí sao cho đoạn MF = ME.
- Để đạt được điều này, điểm M cần phải được chọn sao cho MF = ME = MD = FE, tức là M nằm ở trung điểm của AC.

Khi M nằm ở trung điểm của các cạnh của hình vuông, tứ giác FMED sẽ trở thành hình vuông.

Tóm tắt:
a) Cả hai tam giác MEC và MFA đều vuông cân.
b) Tứ giác FMED là hình chữ nhật.
c) Tứ giác FMED là hình vuông khi M là trung điểm của đường chéo AC.