Để giải bài toán tổng \( S = \frac{2}{11 \times 13} + \frac{2}{13 \times 15} + \frac{2}{15 \times 17} + \ldots + \frac{2}{251 \times 253} \), trước tiên, ta nhận ra rằng mỗi biểu thức trong tổng có thể viết thành một dạng hợp lý hơn.

Tổng quát, ta có thể viết từng phần tử trong tổng là:

\[
\frac{2}{n(n+2)} \quad \text{với } n \text{ là số lẻ}.
\]

Chúng ta có thể biến đổi biểu thức này bằng cách sử dụng phương pháp phân tích thành phân số lũy thừa (partial fraction):

\[
\frac{2}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}.
\]

Giải hệ phương trình tìm \( A \) và \( B \):

\[
2 = A(n+2) + Bn.
\]

Khi \( n = 0 \):

\[
2 = 2A \Rightarrow A = 1.
\]

Khi \( n = -2 \):

\[
2 = -2B \Rightarrow B = -1.
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}.
\]

Như vậy, mỗi phần tử của tổng có thể viết lại như sau:

\[
S = \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right) + \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right) + \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{17} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{251} - \frac{1}{253} \right).
\]

Ta thấy rằng tổng này là một chuỗi đối kháng. Khi cộng các phần tử lại với nhau, hầu hết các số sẽ rút gọn với nhau:

\[
S = \frac{1}{11} - \frac{1}{253}.
\]

Giờ ta tính \( S \):

\[
S = \frac{1}{11} - \frac{1}{253}.
\]

Tính xem cần quy đồng mẫu:

Mẫu số chung là \( 11 \times 253 = 2783 \).

\[
S = \frac{253}{2783} - \frac{11}{2783} = \frac{253 - 11}{2783} = \frac{242}{2783}.
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{\frac{242}{2783}}.
\]