Để tìm các số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^5 + 1 \) chia hết cho \( n^3 + 1 \), chúng ta có thể sử dụng phép chia đa thức.

Chúng ta cần kiểm tra xem \( n^5 + 1 \) có chia hết cho \( n^3 + 1 \) hay không. Theo định lý chia đa thức, chúng ta sẽ thực hiện phép chia \( n^5 + 1 \) cho \( n^3 + 1 \):

1. **Chia \( n^5 + 1 \) cho \( n^3 + 1 \)**:
- Đầu tiên, chia \( n^5 \) cho \( n^3 \): \( n^5 \div n^3 = n^2 \).
- Nhân \( n^2 \) với \( n^3 + 1 \): \( n^2(n^3 + 1) = n^5 + n^2 \).
- Trừ \( n^5 + n^2 \) khỏi \( n^5 + 1 \):
\[
(n^5 + 1) - (n^5 + n^2) = 1 - n^2.
\]

2. **Tiếp tục**:
- Ta có được phần dư là \( 1 - n^2 \).
- Do đó, \( n^5 + 1 \) sẽ chia hết cho \( n^3 + 1 \) nếu \( 1 - n^2 = 0 \), tức là \( n^2 = 1 \).

3. **Giải phương trình**:
- \( n^2 = 1 \) cho các nghiệm là \( n = 1 \) hoặc \( n = -1 \).
- Tuy nhiên, chỉ có \( n = 1 \) là số tự nhiên.

4. **Kiểm tra lại**:
- Với \( n = 1 \):
\[
n^5 + 1 = 1^5 + 1 = 2,
\]
\[
n^3 + 1 = 1^3 + 1 = 2.
\]
- Rõ ràng, \( 2 \div 2 = 1 \), chứng tỏ \( n^5 + 1 \) chia hết cho \( n^3 + 1 \).

Vậy, số tự nhiên \( n \) thỏa mãn điều kiện là \( \boxed{1} \).