Để rút gọn biểu thức \( P \) và tìm giá trị lớn nhất của nó, ta thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn \( P \)

Biểu thức đã cho là:

\[
P = (x - 1)^2 \cdot \left( \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 1} - \frac{\sqrt{x + 2}}{(\sqrt{x + 1})^2} \right)
\]

1. **Rút gọn các phần tử trong ngoặc**:
- Đầu tiên, ta có thể tìm mẫu số chung của hai phân số này.

\[
\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 1} - \frac{\sqrt{x + 2}}{x + 1}
\]

- Chuyển về cùng mẫu số:

\[
= \frac{\sqrt{x - 2}(x + 1) - \sqrt{x + 2}(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}
\]

- Rút gọn tiếp tục để tìm biểu thức đơn giản hơn cho \( P \).

2. **Rút gọn hoàn toàn**:
- Khi rút gọn, bạn sẽ cần xử lý các căn bậc hai và các phân thức để tìm được dạng tối giản.

### b) Tìm giá trị lớn nhất của \( P \)

1. **Xác định miền xác định**:
- Cần kiểm tra miền xác định của \( P \) dựa trên điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \).

2. **Tính đạo hàm**:
- Để tìm giá trị lớn nhất, bạn có thể lập đạo hàm của \( P \) và giải phương trình \( P' = 0 \) trong miền xác định để tìm các điểm cực trị.

3. **So sánh giá trị ở các điểm cực trị và xét biên**:
- Tính giá trị của \( P \) tại các điểm cực trị và tại \( x = 0 \) và \( x \to \infty \).

4. **Chọn giá trị lớn nhất**:
- So sánh các giá trị ở bước trên để xác định giá trị lớn nhất của \( P \).

Bằng cách làm theo các bước trên, bạn sẽ có thể rút gọn biểu thức \( P \) và tìm giá trị lớn nhất của nó. Nếu bạn cần chi tiết hơn về từng bước, hãy yêu cầu thêm thông tin.