Để chứng minh rằng biểu thức \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\) chia hết cho 10 với mọi \(n\) nguyên dương, chúng ta sẽ chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 2 và chia hết cho 5.

### Bước 1: Kiểm tra chia hết cho 2
Ta xét:
\[
3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n
\]

Ta nhận thấy rằng:
- \(3 \equiv 1 \mod 2\)
- \(2 \equiv 0 \mod 2\)

Vậy có:
\[
3^{n+2} \equiv 1^{n+2} \equiv 1 \mod 2
\]
\[
3^n \equiv 1^n \equiv 1 \mod 2
\]
\[
2^{n+2} \equiv 0 \mod 2
\]
\[
2^n \equiv 0 \mod 2
\]

Suy ra:
\[
3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \equiv 1 - 0 + 1 - 0 \equiv 2 \equiv 0 \mod 2
\]
Vì vậy, biểu thức chia hết cho 2.

### Bước 2: Kiểm tra chia hết cho 5
Bây giờ, ta sẽ kiểm tra phần \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\) theo modulo 5. Chúng ta cần tính các luồng tuần hoàn của \(3^n\) và \(2^n\) mod 5.

- \(3^1 \equiv 3\)
- \(3^2 \equiv 4\)
- \(3^3 \equiv 2\)
- \(3^4 \equiv 1\) (vòng lặp: 4)

Vậy \(3^n \mod 5\) theo chu kì 4 là:
- Nếu \(n \equiv 1 \mod 4 \Rightarrow 3^n \equiv 3\)
- Nếu \(n \equiv 2 \mod 4 \Rightarrow 3^n \equiv 4\)
- Nếu \(n \equiv 3 \mod 4 \Rightarrow 3^n \equiv 2\)
- Nếu \(n \equiv 0 \mod 4 \Rightarrow 3^n \equiv 1\)

Tương tự cho \(2^n\):
- \(2^1 \equiv 2\)
- \(2^2 \equiv 4\)
- \(2^3 \equiv 3\)
- \(2^4 \equiv 1\) (vòng lặp: 4)

Vậy \(2^n \mod 5\) theo chu kì 4 là:
- Nếu \(n \equiv 1 \mod 4 \Rightarrow 2^n \equiv 2\)
- Nếu \(n \equiv 2 \mod 4 \Rightarrow 2^n \equiv 4\)
- Nếu \(n \equiv 3 \mod 4 \Rightarrow 2^n \equiv 3\)
- Nếu \(n \equiv 0 \mod 4 \Rightarrow 2^n \equiv 1\)

### Tổng hợp kết quả
Ta sẽ tính \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \mod 5\) cho từng trường hợp của \(n\) mod 4:

- **Trường hợp 1: \(n \equiv 1 \mod 4\)**
\[
3^3 - 2^3 + 3^1 - 2^1 \equiv 2 - 3 + 3 - 2 \equiv 0 \mod 5
\]

- **Trường hợp 2: \(n \equiv 2 \mod 4\)**
\[
3^4 - 2^4 + 3^2 - 2^2 \equiv 1 - 1 + 4 - 4 \equiv 0 \mod 5
\]

- **Trường hợp 3: \(n \equiv 3 \mod 4\)**
\[
3^5 - 2^5 + 3^3 - 2^3 \equiv 3 - 2 + 2 - 3 \equiv 0 \mod 5
\]

- **Trường hợp 4: \(n \equiv 0 \mod 4\)**
\[
3^2 - 2^2 + 3^4 - 2^4 \equiv 4 - 4 + 1 - 1 \equiv 0 \mod 5
\]

Vậy trong cả 4 trường hợp, ta có:
\[
3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \equiv 0 \mod 5
\]

### Kết luận
Biểu thức \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\) chia hết cho 2 và 5. Do đó, nó cũng chia hết cho 10.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n \text{ chia hết cho } 10.
\]