Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

### a. Giải tam giác APN

Tam giác APN vuông tại A có góc P = 58° và cạnh PN = 72 cm. Ta cần tìm độ dài các cạnh còn lại AP và AN.

Theo định lý sin trong tam giác vuông:
- \( AN = PN \cdot \sin(P) = 72 \cdot \sin(58°) \)
- \( AP = PN \cdot \cos(P) = 72 \cdot \cos(58°) \)

Tính giá trị:
- \( AN \approx 72 \cdot 0.8480 \approx 61.536 \) cm
- \( AP \approx 72 \cdot 0.5299 \approx 38.223 \) cm

### b. Kẻ đường cao AD

Kẻ đường cao AD từ A xuống cạnh PN (cạnh huyền).

Diện tích tam giác APN có thể được tính bằng cách sử dụng đường cao:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot AP = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot PN \]

Giải ra AD ta có:
\[ AD = \frac{AN \cdot AP}{PN} \]

Thay các giá trị đã tính vào:
\[ AD = \frac{61.536 \cdot 38.223}{72} \approx 32.686 \text{ cm} \]

Khi dựng hình vuông ABCD, điểm C nằm trên đường thẳng nối từ AD. Đặt M là giao điểm của AN với BC. Tam giác APM là tam giác cân vì AN = AM.

### c. Kẻ trung tuyến AI

Trung tuyến AI sẽ cắt cạnh CD tại K. Theo định lý, ta có:
\[ AP^2 = KC \cdot CP \]

Để chứng minh điều này, ta cần tính KC và CP. Do ở đây không rõ hình vẽ, nhưng ta có thể sử dụng những tính chất của đường trung tuyến và các cạnh tam giác.

1. Tính được KC và CP bằng cách coi điểm C trên CD.
2. Cần kiểm tra theo định nghĩa đường trung tuyến và tính toán các cạnh theo quy tắc.

Trong bài này cần có hình vẽ cụ thể để có thể ứng dụng vào việc chứng minh. Tuy nhiên, trên lý thuyết:
\[
KC + CP = CD
\]
Do đó, ta có mối quan hệ giữa các cạnh.

Hy vọng rằng bạn có thể theo dõi các bước này để hoàn thiện bài toán của mình. Nếu có chỗ nào chưa rõ, bạn có thể hỏi thêm!