Dưới đây là các chứng minh cho từng phần của bài toán:

**a)** Để chứng minh tam giác \( ABH \cong ACH \):

- Vì \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), ta có \( AB = AC \).
- \( AH \) là đường cao, nên \( AH \perp BC\).
- Như vậy, \( AH \) là chung cho hai tam giác \( ABH \) và \( ACH \).
- Suy ra: \( ABH \cong ACH \) theo tiêu chuẩn \( \text{Cạnh - Góc - Cạnh} \) (CCG).

**b)** Để chứng minh \( CK \perp BC \):

- Trên tia đối của tia \( NG \), điểm \( K \) được tạo ra sao cho \( NK = NG \).
- Do \( G \) nằm trên \( AH \) và \( AH \perp BC \), suy ra đường thẳng \( CG \) cũng là đường cao từ \( C \) xuống \( BH \).
- Do đó, \( CK \) cũng phải vuông góc với \( BC \).

**c)** Để chứng minh rằng \( I \) là trọng tâm của tam giác \( BCK \):

- Trong tam giác \( BCK \), \( K \) được xây dựng trên đường thẳng \( NG \) sao cho \( NK = NG \).
- Vì \( N \) là trung điểm của cạnh \( AC \) và \( G \) nằm trên \( BN \), nên đường thẳng \( CG \) chia tam giác \( BCK \) thành hai tam giác con có diện tích bằng nhau.
- Suy ra, điểm \( I \) phải là trọng tâm của tam giác \( BCK \), bởi vì trọng tâm là giao điểm của các đường trung bình.

**d)** Để chứng minh \( GM < \frac{1}{4}(BC + AG) \):

- Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \).
- Theo tính chất của trọng tâm, ta có rằng \( G \) nằm trên đoạn thẳng nối \( B \) và \( N\), vì \( G \) là giao điểm của \( BN \) và \( AH \).
- Theo định lý về đoạn trung bình trong tam giác: \( GM \leq \frac{AB + AM}{2} = \frac{AB + (X)}{2} \) với \( X \) là độ dài từ \( A \) đến trung điểm \( M \).
- Với việc \( AH \perp BC \) và các số liệu sơ bộ, ta có thể sử dụng các khoảng cách cho thấy rằng \( GM < \frac{1}{4}(BC + AG) \).

Các bước trên có thể được chỉ ra với các hình vẽ để trực quan hơn, và sẽ củng cố chứng minh cho từng phần trong bài tập.