Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một:

### a) Chứng minh \(AB = AE\) và \(BD \perp AE\):

1. **Sử dụng định nghĩa của phân giác**:
- Vì \(AD\) là phân giác của góc \(CAB\), nên có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

2. **Xét tam giác vuông \(ABC\)**:
- Trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), có:
\[
\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} \quad \text{và} \quad \tan(\angle ACB) = \frac{AB}{AC}
\]
- Do đó, \(AB < AC\) ⇒ \(AB < AD\).

3. **Xét tam giác vuông \(ABE\)**:
- Kẻ \(DE \perp BC\) nên có \(DE\) là đường cao từ đỉnh \(D\) xuống cạnh \(BC\).
- Trong tam giác vuông \(ABE\), \(AD = DE\) là đường cao, vì vậy \(AB = AE\).

4. **Từ đó ta có**:
\[
AB = AE \quad và \quad BD \perp AE.
\]

### b) Chứng minh \(MH = MK\):

1. **Chọn điểm \(M\) là điểm trên phân giác góc ngoài tại \(C\)**:
- Đường phân giác này cắt \(BD\) tại \(M\).
- Kẻ \(MH \perp AB\) và \(MK \perp AC\).

2. **Sử dụng tính chất của phân giác**:
- Từ tính chất phân giác góc ngoài, ta có:
\[
\frac{BM}{MD} = \frac{AC}{AB}.
\]

3. **Xét tam giác vuông \(ABM\) và \(ACM\)**:
- Trong tam giác vuông \(ABM\), \(MH\) là cạnh đối diện với góc \(B\) còn \(MK\) là cạnh đối diện với góc \(C\).
- Do đó, tổng các góc \(B\) và \(C\) là 90 độ, nghĩa là:
\[
\frac{MH}{MK} = \frac{AB}{AC}.
\]

4. **Từ đó, vì \(\Delta BMD\) là tam giác vuông, nên**:
\[
MH = MK.
\]

Kết luận, thông qua các bước trên, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.