Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \( M, P \) lần lượt là trung điểm của \( AB, AC \).

Giả sử trong tam giác vuông \( ABC \), ta có:

- \( A \) là đỉnh vuông,
- \( AB \) là cạnh kề,
- \( AC \) là cạnh huyền.

Gọi \( N \) là trung điểm của \( BC \). Ta biết rằng \( N \) là trung điểm, nên:

\[
BN = NC
\]

Khi chiếu điểm \( N \) xuống \( AB \) và \( AC \), ta có:

- \( M \) là hình chiếu của \( N \) trên \( AB \) (vì \( N \) vuông góc với \( AB \)),
- \( P \) là hình chiếu của \( N \) trên \( AC \) (vì \( N \) vuông góc với \( AC \)).

### Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( AB \):

Xét đường thẳng \( AN \) (đi qua \( A \) và \( N \)). Do đó, từ tính chất hình chiếu, ta có:

\[
AM = AN \cdot \cos \angle BAN
\]

Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), ta có:

\[
AM = \frac{1}{2}AB
\]

Tương tự, ta chứng minh cho \( P \):

### Chứng minh \( P \) là trung điểm của \( AC \):

Sử dụng tính chất tương tự, ta có:

\[
AP = AN \cdot \cos \angle CAP
\]

Vậy \( P \) cũng là trung điểm của \( AC \).

### b) Tứ giác \( ANCE \) là hình gì?

Để xác định hình dạng của tứ giác \( ANCE \), ta nhận định:

- \( N \) là trung điểm của \( BC \),
- \( M \) và \( P \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( AC \).

Từ đó ta có thể chứng minh rằng \( ANCE \) là tứ giác hình thang vuông. Bởi vì \( AN \perp AM \) và \( AN \perp AP \), đồng thời \( NE \) cũng sẽ song song với \( AC \).

Kết luận, tứ giác \( ANCE \) là một hình thang vuông.