Để giải bài toán này, ta cần chứng minh các tỉ số trong tam giác vuông ABC.

### a) Chứng minh: ΔABC ~ ΔHAC

1. **Tam giác vuông**: ΔABC vuông tại A.
2. **Tam giác HAC** cũng vuông tại H.

Để chứng minh rằng hai tam giác này đồng dạng, ta sử dụng dấu hiệu đồng dạng tam giác vuông:

- Cả hai tam giác đều có cùng một góc A.
- Góc HAC = Góc ABC (góc chung).

Từ đó, ta có:

\[
ΔABC ~ ΔHAC
\]

Và do hai tam giác này đồng dạng nên tỉ số các cạnh tương ứng là:

\[
\frac{AC}{BC} = \frac{HC}{AC}
\]

Nếu áp dụng định lý Pythagore, ta có:

\[
AC^2 = BC \cdot HC
\]

### b) Kẻ HM ⊥ AB và HN ⊥ AC

1. **Kẻ đường cao**: HM ⊥ AB, HN ⊥ AC.
2. **M thuộc AB** và **N thuộc AC**.

Chứng minh:

- Ta có ΔABC với góc vuông tại A.
- Trong ΔAHM và ΔAHN, ta có góc A là góc chung, và các góc còn lại (góc HMA và góc HNA) đều là góc vuông.

Do đó, ΔABC ~ ΔANM (có cùng các góc).

Tóm lại, ta đã chứng minh được:

\[
ΔABC ~ ΔHAC \quad \text{và} \quad ΔABC ~ ΔANM
\]

Điều này cho thấy tỉ số các cạnh cũng tương ứng giữa các tam giác này.