Để chứng minh rằng \( A = \sum_{n=2}^{2024} \frac{1}{n^2} < 1 \), ta sẽ sử dụng một số mệnh đề về chuỗi hình học và sự đánh giá.

1. **Đánh giá tổng**: Chúng ta có thể so sánh các số hạng trong tổng với một tổng vô hạn đã biết. Một biểu thức nổi tiếng là tổng của chuỗi hình học dựa trên hàm zeta:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493.
\]

2. **Áp dụng cho \(n = 2\) đến \(2024\)**: Do đó,

\[
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1.
\]

Tính giá trị trên:

\[
\frac{\pi^2}{6} - 1 \approx 1.64493 - 1 = 0.64493.
\]

3. **Giới hạn trên**: Do đó, ta có thể kết luận rằng

\[
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} < \frac{\pi^2}{6} - 1 < 0.64493.
\]

4. **Giới hạn một phần**: Với số hạng đầu tiên của chúng ta, chúng ta hãy đánh giá tổng này từ \( n = 2 \) đến \( n = 2024 \):

\[
A = \sum_{n=2}^{2024} \frac{1}{n^2} < \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} < 0.64493.
\]

5. **Kết luận**: Kết quả này cho thấy rằng

\[
A < 0.64493 < 1.
\]

Vì vậy ta có thể kết luận rằng:

\[
\sum_{n=2}^{2024} \frac{1}{n^2} < 1.
\]

Vậy, \( A < 1 \) đã được chứng minh.