Để giải các bài toán bạn đã đưa ra, ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = (2x+1)^2 + y^2 - 3 \)

Biểu thức \( P \) có cấu trúc là tổng của hai bình phương và một hằng số. Ta có thể phân tích như sau:

- Biểu thức \( (2x + 1)^2 \) luôn không âm, tức là \( (2x + 1)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x \).
- Tương tự, \( y^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( y \).

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( (2x + 1)^2 + y^2 \) là 0, đạt được khi \( (2x + 1) = 0 \) và \( y = 0 \).

Giải phương trình \( 2x + 1 = 0 \):
\[
2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}.
\]

Khi thay \( x = -\frac{1}{2} \) vào biểu thức \( P \) và chọn \( y = 0 \):
\[
P = (2(-\frac{1}{2}) + 1)^2 + 0^2 - 3 = (0)^2 + 0 - 3 = -3.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \boxed{-3} \).

### b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q = 10 - (x - \frac{1}{2})^2 - (2y + 3)^2 \)

Biểu thức \( Q \) có dạng là một hằng số trừ đi tổng bình phương. Để tìm giá trị lớn nhất, ta cần tối thiểu hóa hai số hạng bình phương.

Hai số hạng \( (x - \frac{1}{2})^2 \) và \( (2y + 3)^2 \) đều không âm và đạt giá trị 0 khi:
1. \( x - \frac{1}{2} = 0 \implies x = \frac{1}{2} \).
2. \( 2y + 3 = 0 \implies 2y = -3 \implies y = -\frac{3}{2} \).

Khi \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = -\frac{3}{2} \):
\[
Q = 10 - 0 - 0 = 10.
\]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q \) là \( \boxed{10} \).