Để tìm giá trị \( x \) để biểu thức \( P \) xác định và rút gọn biểu thức, ta cần phân tích từng thành phần của \( P \).

### Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức \( P \) được định nghĩa như sau:
\[
P = \left( \frac{-\frac{x-1}{2x} + \frac{x+1}{2x}}{\frac{4}{x^3-4x}} \right) \cdot \frac{4026}{x}
\]

**Điều kiện không xác định:**

1. Nhân tử của phân số chính phải khác 0.
\[
-\frac{x-1}{2x} + \frac{x+1}{2x} \neq 0
\]
Tính toán:
\[
-\frac{x-1 + x+1}{2x} = -\frac{2x}{2x} = -1 \quad (\text{Điều này luôn khác 0 khi } x \neq 0)
\]

2. Mẫu phải khác 0:
\[
\frac{4}{x^3 - 4x} \neq 0 \implies x^3 - 4x \neq 0
\]
Giải phương trình:
\[
x(x^2 - 4) = 0 \implies x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm 2
\]

3. Cuối cùng, \( x \) cũng không được bằng 0 để không xuất hiện mẫu số 0 ở cuối biểu thức.

**Tóm lại:** Để biểu thức xác định, ta có:
\[
x \neq 0, \quad x \neq 2, \quad x \neq -2
\]

### Bước 2: Rút gọn biểu thức

Giờ, ta rút gọn phần chính của biểu thức:
\[
P = \left( \frac{-\frac{x-1}{2x} + \frac{x+1}{2x}}{\frac{4}{x^3-4x}} \right) \cdot \frac{4026}{x}
\]

Tính giá trị:
\[
-\frac{x-1}{2x} + \frac{x+1}{2x} = \frac{-(x-1) + (x+1)}{2x} = \frac{-x + 1 + x + 1}{2x} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}
\]

Bây giờ thay vào:
\[
P = \left( \frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{x^3 - 4x}} \right) \cdot \frac{4026}{x}
\]

Phân số đầu tiên:
\[
\frac{1}{x} \div \frac{4}{x^3 - 4x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x^3 - 4x}{4} = \frac{x^3 - 4x}{4x}
\]

Thay vào biểu thức cuối cùng:
\[
P = \frac{x^3 - 4x}{4x} \cdot \frac{4026}{x} = \frac{(x^3 - 4x) \cdot 4026}{4x^2}
\]

Rút gọn \( x \) ra ngoài:
\[
= \frac{4026(x^2 - 4)}{4x^2} = \frac{4026(x - 2)(x + 2)}{4x^2}
\]

### Kết luận

Biểu thức đã giảm gọn là:
\[
P = \frac{1006(x - 2)(x + 2)}{x^2}
\]
với điều kiện xác định là \( x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2 \).