Để chứng minh tam giác \( \triangle ABH \) bằng tam giác \( \triangle HDC \), ta sẽ sử dụng các yếu tố của tam giác cân và tính chất của các đoạn thẳng.

1. **Thông tin ban đầu**:
- Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), nên có \( AB = AC \).
- Đường cao \( AH \) từ \( A \) xuống \( BC \) vuông góc với \( BC \), tức là \( AH \perp BC \).
- Điểm \( D \) được xác định sao cho \( DH = AH \) và \( D \) nằm trên tia đối của tia \( AH \).

2. **Xét các đoạn thẳng**:
- Theo định nghĩa, do \( DH = AH \), ta có \( DH = AH \).
- Từ tính chất của tam giác vuông, ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) và \( \angle AHC = 90^\circ \).

3. **Xét các góc**:
- Từ hình vẽ, ta có \( \angle AHB = 90^\circ \), \( \angle DHC = 90^\circ \) (có thể viết lại vì \( H \) nằm trên đường trung trực của \( D \)).
- Do đó, tam giác \( AHB \) và tam giác \( DHC \) đều có một góc vuông.

4. **Xét cạnh**:
- Với \( AB = AC \) và \( DH = AH \), từ định nghĩa của tam giác vuông, chúng ta có thể có:
- \( AH = DH \)
- \( AB = AC \)

5. **Suy ra**:
- Với thông tin trên, ta có ba cạnh của hai tam giác là:
- \( AH = DH \)
- \( AB = AC \)
- Góc vuông tại \( H \) trong cả hai tam giác.

6. **Kết luận**:
- Từ việc hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc giữa hai cạnh đó cũng bằng nhau (góc vuông), ta có thể kết luận rằng \( \triangle ABH \cong \triangle HDC \) theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (C-G-C).

Như vậy, ta đã chứng minh rằng \( \triangle ABH \cong \triangle HDC \).