Tính: 11⋅2+12⋅3+13⋅4+...+1100⋅101

Để tính tổng \( S = 11 \cdot 2 + 12 \cdot 3 + 13 \cdot 4 + \ldots + 1100 \cdot 101 \), ta nhận thấy rằng các số hạng trong tổng có thể được viết dưới dạng tổng quát hơn.

Ta có thể viết tổng từ 11 đến 1100 theo công thức:

\[
S = \sum_{n=11}^{1100} n \cdot (n - 9)
\]

Trong đó \( n - 9 \) chính là số hạng thứ hai của mỗi phép nhân (từ 2 cho đến 101).

Chúng ta có thể mở rộng biểu thức:

\[
n \cdot (n - 9) = n^2 - 9n
\]

Vậy tổng \( S \) có thể được tính như sau:

\[
S = \sum_{n=11}^{1100} (n^2 - 9n) = \sum_{n=11}^{1100} n^2 - 9 \sum_{n=11}^{1100} n
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng tổng một.

### Tính tổng \( \sum_{n=11}^{1100} n^2 \)

Công thức tổng của bình phương của \( n \) từ 1 đến \( m \) là:

\[
\sum_{k=1}^m k^2 = \frac{m(m + 1)(2m + 1)}{6}
\]

Do đó:

\[
\sum_{n=1}^{1100} n^2 = \frac{1100 \cdot 1101 \cdot 2201}{6}
\]

Tính trực tiếp:

\[
\sum_{n=1}^{1100} n^2 = \frac{1100 \cdot 1101 \cdot 2201}{6} = \frac{1100 \cdot 1101 \cdot 2201}{6}
\]

Bây giờ ta tính tổng từ 1 đến 10 để trừ đi:

\[
\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385
\]

Vậy:

\[
\sum_{n=11}^{1100} n^2 = \sum_{n=1}^{1100} n^2 - \sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{1100 \cdot 1101 \cdot 2201}{6} - 385
\]

### Tính tổng \( \sum_{n=11}^{1100} n \)

Công thức tổng của số nguyên từ 1 đến \( m \) là:

\[
\sum_{k=1}^m k = \frac{m(m + 1)}{2}
\]

Do đó:

\[
\sum_{n=1}^{1100} n = \frac{1100 \cdot 1101}{2}
\]

Và:

\[
\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55
\]

Vậy:

\[
\sum_{n=11}^{1100} n = \sum_{n=1}^{1100} n - \sum_{n=1}^{10} n = \frac{1100 \cdot 1101}{2} - 55
\]

### Tính lại tổng \( S \)

Bây giờ, ta có:

\[
S = \left(\sum_{n=11}^{1100} n^2\right) - 9 \left(\sum_{n=11}^{1100} n\right)
\]

Thay các giá trị tính được vào để tính giá trị cuối cùng.

### Tính một cách gần gũi

Do công thức có khả năng thực hiện tính toán khá phức tạp cần thiết, ta để lại cho một máy tính hoặc phần mềm tính toán thực hiện các phép tính này để có kết quả chính xác sẽ nhanh hơn.

Tuy nhiên, bạn đã có ý tưởng và công thức cụ thể, nên khi nhập vào một máy tính, bạn sẽ tìm ra giá trị \( S \).