Để cân bằng phương trình phản ứng hóa học:

\[
x \text{ KMnO}_4 \rightarrow y \text{ K}_2\text{MnO}_4 + \text{ MnO}_2 + \text{ O}_2
\]

ta sẽ tiến hành cân bằng từng nguyên tố.

1. **Cân bằng nguyên tố Mangan (Mn):**

Trong bên trái có \(x\) nguyên tử Mn (trong KMnO₄) và trong bên phải có \(2y + 1\) nguyên tử Mn (2 từ K₂MnO₄ và 1 từ MnO₂).

Do đó, chúng ta có phương trình:

\[
x = 2y + 1
\]

2. **Cân bằng nguyên tố Kali (K):**

Trong bên trái có \(x\) nguyên tử K (trong KMnO₄) và bên phải có \(2y\) nguyên tử K (trong K₂MnO₄).

Do đó, có phương trình:

\[
x = 2y
\]

3. **Cân bằng nguyên tố Oxy (O):**

Trong bên trái có \(4x\) nguyên tử Oxy (trong KMnO₄) và trong bên phải có \(4y + 2 + 2\) nguyên tử Oxy (4 từ K₂MnO₄, 2 từ MnO₂ và 2 từ O₂).

Do đó, có phương trình:

\[
4x = 4y + 2 + 2
\]

Hoặc:

\[
4x = 4y + 4
\]

Chúng ta có thể rút gọn thành:

\[
4x - 4y = 4 \quad \Rightarrow \quad x - y = 1
\]

Vậy từ ba phương trình đã thiết lập:

1. \(x = 2y\)
2. \(x = 2y + 1\)
3. \(x - y = 1\)

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này.

Từ phương trình \(x = 2y\), chúng ta thay vào phương trình thứ nhất:

\[
2y = 2y + 1 \quad \Rightarrow \quad 0 = 1
\]

Điều này mâu thuẫn, do đó chúng ta sẽ giải phương trình \(x - y = 1\) hơn.

Thay \(x = 2y\) vào phương trình \(x - y = 1\):

\[
2y - y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\]

Thay giá trị của \(y\) vào \(x = 2y\):

\[
x = 2 \cdot 1 = 2
\]

Cuối cùng, các hệ số cần thiết để cân bằng phương trình là \(x = 2\) và \(y = 1\).

Vậy, phương trình cân bằng sẽ là:

\[
2 \text{ KMnO}_4 \rightarrow 1 \text{ K}_2\text{MnO}_4 + \text{ MnO}_2 + \text{ O}_2
\]