Để tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tứ giác đều, ta có thể sử dụng các công thức sau:

### 1. Diện tích xung quanh (A_xq):
Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:
\[
A_{xq} = \frac{1}{2} \cdot P_{b} \cdot l
\]
Trong đó:
- \(P_{b}\) là chu vi đáy (hình vuông),
- \(l\) là độ dài trung đoạn (khoảng cách từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đáy).

Với đáy hình chóp là hình vuông có cạnh \(a = 5 \, cm\):
\[
P_{b} = 4a = 4 \cdot 5 = 20 \, cm
\]

### 2. Thể tích (V):
Thể tích hình chóp được tính bằng công thức:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{b} \cdot h
\]
Trong đó:
- \(S_{b}\) là diện tích đáy,
- \(h\) là chiều cao hình chóp.

Diện tích đáy:
\[
S_{b} = a^2 = 5^2 = 25 \, cm^2
\]
Chiều cao \(h = 6 \, cm\).

### Tính toán:

#### Các bước tính diện tích xung quanh:
1. \(A_{xq} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 6.5\)
\[
A_{xq} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 6.5 = 65 \, cm^2
\]

#### Các bước tính thể tích:
2. \(V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 6\)
\[
V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 6 = 50 \, cm^3
\]

### Kết quả:
- Diện tích xung quanh: \(65 \, cm^2\)
- Thể tích: \(50 \, cm^3\)

Như vậy, diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là \(65 \, cm^2\) và thể tích là \(50 \, cm^3\).