Tìm m thỏa mãn

Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( m \) để hệ phương trình sau có nghiệm \((x,y)\) sao cho \(x+y\) là nhỏ nhất:

\[
\begin{cases}
2x + y = 5m^2 - 1 \\
x - 2y = m^2
\end{cases}
\]

### Bước 1: Giải hệ phương trình

Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách thể hiện \( y \) qua \( x \) trong phương trình thứ nhất:

1. Từ phương trình \( 2x + y = 5m^2 - 1 \), ta có:
\[
y = 5m^2 - 1 - 2x
\]

2. Thay vào phương trình thứ hai \( x - 2y = m^2 \):
\[
x - 2(5m^2 - 1 - 2x) = m^2
\]
\[
x - 10m^2 + 2 + 4x = m^2
\]
\[
5x - 10m^2 + 2 = m^2
\]
\[
5x = 11m^2 - 2
\]
\[
x = \frac{11m^2 - 2}{5}
\]

### Bước 2: Tìm \( y \) từ \( x \)

Thay \( x \) vào phương trình về \( y \):
\[
y = 5m^2 - 1 - 2\left(\frac{11m^2 - 2}{5}\right)
\]
\[
y = 5m^2 - 1 - \frac{22m^2 - 4}{5}
\]
\[
y = 5m^2 - 1 - \frac{22m^2}{5} + \frac{4}{5}
\]
\[
y = \frac{25m^2 - 5}{5} - \frac{22m^2 - 4}{5}
\]
\[
y = \frac{25m^2 - 5 - 22m^2 + 4}{5} = \frac{3m^2 - 1}{5}
\]

### Bước 3: Tính \( x+y \)

Bây giờ, ta tính \( x+y \):
\[
x + y = \frac{11m^2 - 2}{5} + \frac{3m^2 - 1}{5} = \frac{14m^2 - 3}{5}
\]

### Bước 4: Làm nhỏ \( x+y \)

Để nhỏ nhất, ta cần giá trị \( m \) sao cho \( 14m^2 - 3 \) là nhỏ nhất. Giá trị này nhỏ nhất khi \( m^2 \) nhỏ nhất.

### Kết luận

Ta tìm ra rằng khi \( m = 0 \):
\[
x + y = \frac{14(0^2) - 3}{5} = \frac{-3}{5}
\]

Vì vậy, \( m = 0 \) là giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.