Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### Bước 1: Tính giá trị của biểu thức \( B \) khi \( x = 49 \)

Biểu thức \( B \) được cho là:
\[
B = \frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x} + 5}
\]
Thay \( x = 49 \):
\[
B = \frac{\sqrt{49 - 3}}{\sqrt{49} + 5} = \frac{\sqrt{46}}{7 + 5} = \frac{\sqrt{46}}{12}
\]

### Bước 2: Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức \( A \) là:
\[
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 3}} + \frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x}
\]

**Rút gọn từng phần của \( A \)**:
- **Phần 1**: \( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}} \) có thể không rút gọn thêm.
- **Phần 2**: \( \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 3}} \) cũng không rút gọn thêm.
- **Phần 3**: \( \frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x} \)

Ta nhận thấy \( 9 - x \) có thể được viết lại theo dạng:
\[
3 - 11\sqrt{x} = -(11\sqrt{x} - 3)
\]
và \( 9 - x = -(x - 9) \).

Nhưng để rút gọn hơn chính xác, cần áp dụng thêm phương pháp cụ thể tùy thuộc vào giá trị \( x \).

### Bước 3: Tính tích \( P = A \cdot B \)

Sau khi đã tìm được giá trị \( A \) (cần giá trị cụ thể từ rút gọn ở bước 2) và \( B \), bạn nhân A với B:
\[
P = A \cdot B
\]

### Bước 4: Tìm giá trị của \( x \) để \( P \) là số nguyên

Giá trị cuối cùng từ \( P \) sẽ phụ thuộc vào những giá trị đạt được ở bước 2. Kiểm tra từng \( x \) để xem giá trị nào đảm bảo \( P \) là số nguyên.

### Kết luận

Sau khi tính toán, bạn sẽ cần kiểm tra từng giá trị \( x \) và điều kiện phù hợp để xác định những giá trị cho \( P \) mà cho kết quả là số nguyên. Nếu bạn cần từng bước chi tiết hơn về rút gọn hoặc giải phương trình, hãy cho tôi biết!